Osoedro

Insieme di osoedri n-gonali
Tipo	Poliedro regolare o poliedro sferico
Forma facce	Fusi sferici
Nº facce	n digoni
Nº spigoli	n
Nº vertici	2
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	2^n
Notazione di Wythoff	n | 2 2
Notazione di Schläfli	{2,n}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Dnh, [2,n], (*22n), ordine 4n
Gruppo rotazionale	Dn, [2,n]^+, (22n), ordine 2n
Duale	Diedro n-gonale regolare
Politopi correlati
Poliedro duale

Se le toppe che ha ai poli fossero rimosse, questa palla da spiaggia sarebbe un osoedro esagonale, con 6 facce a forma di fuso sferico.

In geometria, un osoedro n-gonale è la tassellatura di una superficie sferica realizzata con fusi sferici disposti in modo tale che tali fusi condividano i due stessi punti antipodali.

Un osoedro n-gonale regolare ha simbolo di Schläfli {2, n}, con ogni fuso sferico avente un angolo diedro pari a 2π/n radianti (360/n gradi).[1][2]

Osoedri come poliedri regolari

Ogni poliedro regolare avente simbolo di Schläfli {m, n} ha un numero di facce poligonali pari a:

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.}$

Le uniche soluzioni per m ed n interi e ≥ 3 sono i solidi platonici, in cui la condizione m ≥ 3 implica che le facce poligonali debbano avere almeno tre lati. Quando però si considerano i poliedri come una tassellatura sferica, allora tale restrizione può essere eliminata, poiché su una sfera si possono rappresentare digoni (ossia 2-goni) come fusi sferici aventi area maggiore di zero.

Ammettendo la possibilità che m possa essere uguale a 2 si ha

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,}$

e si introduce quindi una nuova, infinita classe di poliedri regolari, ossia gli osoedri. Su una superficie sferica, il poliedro {2, n} è rappresentato come n fusi sferici adiacenti, con angolo diedro pari a 2π/n e che condividono due vertici.

Un osoedro trigonale regolare, {2,3}, rappresentato come una tassellatura composta da 3 fusi sferici su una sfera.

Un osoedro tetragonale regolare, {2,4}, rappresentato come una tassellatura composta da 3 fusi sferici su una sfera.

Osoedri regolari · Mutazioni di simmetria *n22 di tassellature osoedriche regolari: nn

Spazio	Sferico													Euclideo
Nome della tassellatura	Osoedro monogonale	Osoedro digonale	Osoedro trigonale	Osoedro tetragonale	Osoedro pentagonale	Osoedro esagonale	Osoedro ettagonale	Osoedro ottagonale	Osoedro ennagonale	Osoedro decagonale	Osoedro undecagonale	Osoedro dodecagonale	...	Osoedro apeirogonale
Immagine della tassellatura													...
Simbolo di Schläfli	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}	{2,9}	{2,10}	{2,11}	{2,12}	...	{2,∞}
Diagramma di Coxeter-Dynkin													...
Facce e spigoli	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
Vertici	2												...	2
Incidenza dei vertici	2	2.2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7	2^8	2^9	2^10	2^11	2^12	...	2^∞

Simmetria caleidoscopica

Le 2n facce digonali di un 2n-osoedro, {2,2n}, rappresentano il dominio fondamentale della simmetria diedrale in tre dimensioni: la simmetrica ciclica C_nv, [n], (*nn), ordine 2n. I domini di riflessione possono essere mostrati come fusi sferici colorati alternativamente come fossero immagini speculari.

Sezionando ogni fuso sferico con una circonferenza massima passante per l'equatore, in modo da creare due triangoli sferici, si crea una bipiramide n-gonale che rappresenta la simmetria diedrale D_nh, ordine 4n.

Simmetria (ordine 2n)	Cnv, [n]	C1v, [ ]	C2v, [2]	C3v, [3]	C4v, [4]	C5v, [5]	C6v, [6]
Osoedro 2n-gonale	Simbolo di Schläfli {2,2n}	{2,2}	{2,4}	{2,6}	{2,8}	{2,10}	{2,12}
Immagine	Domini fondamentali con colori alternati

Relazione con il solido di Steinmetz

Un osoedro tetragonale è topologicamente equivalente al solido bicilindrico di Steinmetz, dato dall'intersezione di due cilindri perpendicolari.[3]

Poliedri correlati

Il poliedro duale dell'osoedro n-gonale, {2, n}, è il diedro n-gonale, {n, 2}; un caso speciale è dato dal poliedro {2,2}, che è auto-duale essendo sia un osoedro che un diedro.

Un osoedro può essere modificato nello stesso modo degli altri poliedri per produrre tutta una serie di variazioni troncate, in particolare il troncamento di un osoedro n-gonale porta alla formazione di un prisma n-gonale troncato.

Osoedro apeirogonale

In condizioni di limite, un osoedro diventa un osoedro apeirogonale rappresentando una tassellatura bidimensionale:

Osotopi

Così come i poliedri sono politopi tridimensionali, allo stesso modo un osoedro è un particolare osotopo a tre dimensioni. Un osotopo regolare a più di 3 dimensioni e rappresentato in notazione di Schläfli come {2,p,...,q} ha due vertici, ognuno dei quali avente una figura al vertice con simbolo di Schläfli {p,...,q}. Un osotopo bidimensionale, {2}, è invece un digono.

Etimologia

Si ritiene che il termine "osoedro" derivi dal greco ὅσος (hosos) che significa "quanto, quanto grande", volendo dare l'idea che un osoedro può avere quante facce si desidera.[4]

Note

1. H. S. M Coxeter, Regular Polytopes, 3ª ed., New York, Dover Publications Inc., 1973, p. 12, ISBN 0-486-61480-8.
2. Peter McMullen e Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, 1ª ed., Cambridge University Press, Dicembre 2002, p. 161, ISBN 0-521-81496-0.
3. (EN) Eric W. Weisstein, Osoedro, in MathWorld, Wolfram Research.
4. Steven Schwartzman, The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, MAA, gennaio 1994, pp. 108-109, ISBN 978-0-88385-511-9. URL consultato il 20 giugno 2021.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Osoedro, su MathWorld, Wolfram Research.