Punti antipodali (matematica)

I punti antipodali su una sfera generalizzano il concetto geografico di punti antipodali sulla Terra anche a sfere di dimensioni arbitrarie.

Definizione

Una sfera di dimensione ${\displaystyle n}$ è descritta dall'equazione

${\displaystyle x_{1}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}=1}$

nello spazio euclideo ${\displaystyle (n+1)}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

Il punto antipodale ad un punto ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n+1})}$ è il punto ${\displaystyle (-x_{1},\ldots ,-x_{n+1})}$: tutte le coordinate cambiano cioè di segno.

Spazio quoziente

Lo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza di antipodalità è lo spazio proiettivo reale, oggetto fondamentale della geometria proiettiva.

Mappa antipodale

La funzione che associa ad ogni punto di una sfera il suo antipodale è detta mappa antipodale.

La mappa antipodale preserva l'orientazione della sfera se e solo se ${\displaystyle n}$ è dispari. Infatti la funzione è la restrizione della funzione lineare

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle f:x\mapsto -x}$

associata alla matrice ${\displaystyle -I}$ opposta alla matrice identità ${\displaystyle I}$. Il determinante di questa matrice è ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$, ed il suo segno è quindi effettivamente positivo solo per ${\displaystyle n}$ dispari.

Per questo motivo, lo spazio proiettivo è orientabile solo per ${\displaystyle n}$ dispari.

Teorema di Borsuk-Ulam

Il teorema di Borsuk-Ulam è un risultato di topologia riguardante i punti antipodali in dimensione arbitraria: asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda due punti antipodali sullo stesso punto (in particolare, non può essere iniettiva).

Voci correlate

• Spazio proiettivo
• Teorema di Borsuk-Ulam