Operatore di Hodge

In algebra lineare, l'operatore di Hodge o stella di Hodge, introdotto da William Vallance Douglas Hodge, è un operatore sull'algebra esterna di uno spazio vettoriale euclideo orientato . Di solito è indicato da un asterisco o da una stella che precede l'elemento a cui è applicato. Se la dimensione dello spazio è n, l'operatore lega k-vettori con (n − k)-vettori: questa corrispondenza è detta dualità di Hodge. Il duale di Hodge di un vettore è il vettore ottenuto dall'applicazione dell'operatore di Hodge.

In geometria differenziale, l'operatore di Hodge può essere esteso a fibrati vettoriali riemanniani orientati. Applicato allo spazio cotangente delle varietà riemannane orientate, l'operatore di Hodge permette di definire una norma L^2 sullo spazio delle forme differenziali. Il codifferenziale è quindi definito come la forma aggiunta della derivata esterna . Questo codifferenziale interviene in particolare nella definizione delle forme armoniche.

Definizione

Operatore di Hodge su k -vettori

Sia E uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione finita n . I sottospazi ${\displaystyle \wedge ^{k}(E)}$ e ${\displaystyle \wedge ^{n-k}(E)}$ k -vettori e (n − k) -vettori sono della stessa dimensione, ovvero il coefficiente binomiale ${\textstyle n \choose k}$ . L'operatore di Hodge è un isomorfismo lineare indicato con ${\displaystyle *}$ tra questi due spazi. Per qualsiasi base ortonormale diretta ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ , si ha

${\displaystyle *(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \ldots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

Si estende quindi per linearità a tutta l'algebra esterna. Si può dimostrare che questa definizione, nonostante coinvolga una base, è indipendente dalla base scelta.

Una definizione più adatta consiste nel coinvolgere la forma di volume ${\displaystyle \omega }$ dello spazio vettoriale euclideo orientato ${\displaystyle E}$. Il duale di Hodge si ottiene eseguendo la contrazione

${\displaystyle \;*\;X=\langle \omega ,X\rangle }$

Dualità

Per un k -vettore ${\displaystyle \eta \in \wedge ^{k}(E)}$ dello spazio n-dimensionale ${\displaystyle E}$, applicando due volte l'operatore di Hodge si ottiene l'identità, a meno di un segno

${\displaystyle **\eta =(-1)^{k(n-k)}\;\eta }$

Applicazioni

Prodotto scalare sull'algebra esterna

L'operatore di Hodge permette di definire un prodotto scalare sull'algebra esterna mediante la relazione

${\displaystyle \zeta \wedge *\eta =\langle \zeta |\eta \rangle \;*1=\langle \zeta |\eta \rangle \;{\overline {\omega }}}$

Per questo prodotto scalare, i k -vettori ottenuti per prodotto esterno dalla base ortonormale di ${\displaystyle E}$ costituiscono una base ortonormale di ${\displaystyle \wedge ^{k}(E)}$.

Estensione agli spazi quadratici

È possibile definire un operatore di Hodge per uno spazio quadratico . La formula della dualità viene quindi modificata per tenere conto della segnatura della forma quadratica su ${\displaystyle E}$. Precisamente, moltiplichiamo il secondo membro per il discriminante di questa forma quadratica. Quindi se ${\displaystyle n=4}$ e se la segnatura è ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ o ${\displaystyle (-,+,+,+)}$, l'esponente è ${\displaystyle k(nk)+1}$.

Bibliografia

• (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin e Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry
• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003