In algebra lineare , la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato .
Definizione
Data una matrice
A
{\displaystyle A}
A
T
{\displaystyle A^{T}}
trasposta e con l'asterisco
∗
{\displaystyle *}
coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata
A
†
{\displaystyle A^{\dagger }}
A
†
=
(
A
T
)
∗
=
(
A
∗
)
T
{\displaystyle A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}}
In termini degli elementi vale la relazione:
(
A
†
)
j
k
=
A
k
j
∗
{\displaystyle (A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}}
cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:
A
k
j
∗
=
A
j
k
†
{\displaystyle A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }}
Ad esempio:
A
=
(
3
+
9
i
2
+
i
7
−
6
i
1
−
3
i
)
A
†
=
(
3
−
9
i
7
+
6
i
2
−
i
1
+
3
i
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}}
Valgono le seguenti proprietà:
(
A
†
)
†
=
A
(
A
+
B
)
†
=
A
†
+
B
†
(
c
A
)
†
=
c
∗
⋅
A
†
(
A
⋅
B
)
†
=
B
†
⋅
A
†
{\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}
e in generale:
(
A
⋅
B
⋅
C
⋅
D
.
.
.
)
†
=
.
.
.
D
†
⋅
C
†
⋅
B
†
⋅
A
†
{\displaystyle \left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}
Dalle precedenti proprietà si può ricavare
(
A
†
)
−
1
=
(
A
−
1
)
†
=
A
−
†
{\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\dagger }=A^{-\dagger }}
infatti
A
†
(
A
†
)
−
1
=
I
n
=
I
n
†
=
(
A
−
1
A
)
†
=
A
†
(
A
−
1
)
†
.
{\displaystyle A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.}
L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.
Denotando con
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot \,,\cdot \rangle }
prodotto hermitiano standard fra vettori di
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
⟨
A
u
,
v
⟩
=
⟨
u
,
A
†
v
⟩
⟨
u
,
A
v
⟩
∗
=
⟨
v
,
A
†
u
⟩
{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle }
Matrici hermitiane
Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta ). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano
ϕ
(
u
,
v
)
=
(
u
,
A
v
)
{\displaystyle \phi (u,v)=(u,Av)}
Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:
(
u
,
A
u
)
=
(
u
,
A
u
)
∗
{\displaystyle (u,Au)=(u,Au)^{*}}
è reale.
Ogni matrice quadrata complessa
A
{\displaystyle A}
antihermitiana :
A
=
1
2
(
A
+
A
†
)
+
1
2
(
A
−
A
†
)
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)}
Bibliografia
(EN Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
(EN Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)
Voci correlate
Collegamenti esterni
