Matrice hamiltoniana

In matematica, una matrice hamiltoniana ${\displaystyle A}$ è una qualsiasi matrice reale ${\displaystyle A}$ di dimensioni ${\displaystyle 2n\times 2n}$ tale che ${\displaystyle JA}$ è simmetrica, ove ${\displaystyle J}$ è la matrice antisimmetrica

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$

e ${\displaystyle I_{n}}$ è la matrice identità di dimensioni ${\displaystyle n\times n.}$ In altre parole, ${\displaystyle A}$ è hamiltoniana se e solo se

${\displaystyle JA-A^{T}J^{T}=JA+A^{T}J=0.}$

Nello spazio vettoriale di tutte le matrici ${\displaystyle 2n\times 2n}$, le matrici di Hamilton Hamiltonian formano un sottospazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle 2n^{2}+n}$.

Proprietà

• Sia ${\displaystyle M}$ una matrice a blocchi di dimensioni ${\displaystyle 2n\times 2n}$ data da

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

in cui ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, e ${\displaystyle D}$ sono matrici ${\displaystyle n\times n}$. Quindi ${\displaystyle M}$ è una matrice Hamiltoniana se le matrici ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ sono simmetriche, e ${\displaystyle A+D^{T}=0}$.

• La matrice trasposta di una matrice hamiltoniana è hamiltoniana.
• La traccia di una matrice hamiltoniana è nulla.
• Il commutatore di due matrici hamiltoniane è hamiltoniano.
• Gli autovalori di una matrice hamiltoniana sono simmetrici rispetto all'asse immaginario.
• Lo spazio di tutte le matrici hamiltoniane è un'algebra di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {Sp}}(2n)}$[1].

Operatore hamiltoniano

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale fornito di una forma simplettica ${\displaystyle \omega }$. Una mappa lineare ${\displaystyle A\colon V\mapsto V}$ è detta operatore hamiltoniano rispetto ad ${\displaystyle \omega }$ se la forma ${\displaystyle (x,y)\mapsto \omega (A(x),y)}$ è simmetrica. Equivalentemente, deve soddisfare

${\displaystyle \omega (A(x),y)=-\omega (x,A(y)).}$

Si scelga una base ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{2n}}$ in ${\displaystyle V}$, tale che ${\displaystyle \Omega }$ sia definibile come ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}e_{i}\wedge e_{n+i}}$. Un operatore lineare è hamiltoniano rispetto a ${\displaystyle \omega }$ se e solo se la sua matrice in questa base è hamiltoniana[2].

Da questa definizione, seguono le proprietà:

• una radice di una matrice hamiltoniana è anti-hamiltoniana;
• l'esponenziale di una matrice hamiltoniana è simplettica;
• il logaritmo di una matrice simplettica è hamiltoniano.

Intelligenza artificiale

Date le posizioni degli elettroni in una molecola, l'intelligenza artificiale è in grado di predire con precisione la matrice hamiltoniana descrivente gli stati degli atomi e l'energia ad essi associata.[3]

Note

1. Alex J. Dragt, The symplectic group and classical mechanics, in Annals of the New York Academy of Sciences, vol. 1045, n. 1, 2005, pp. 291–307, DOI:10.1196/annals.1350.025..
2. William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, in Linear Algebra and its Application, vol. 396, 2005, pp. 385–390, DOI:10.1016/j.laa.2004.10.003..
3. (EN) Dipartimento dell'Energia degli Stati Uniti, Breakthrough reported in machine learning-enhanced quantum chemistry, su Phys.org, 12 settembre 2022, DOI:10.1073/pnas.2120333119. URL consultato il 16 settembre 2022.

Bibliografia

• (EN) K. R. Meyer e G. R. Hall, Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem, Springer, 1991, pp. 34–35, ISBN 0-387-97637-X.

Voci correlate

• William Rowan Hamilton
• Matrice antihamiltoniana