Lemma di Kac

In fisica matematica, nell'ambito della teoria ergodica, il lemma di Kac, dimostrato dal matematico Mark Kac nel 1947[1], è un lemma che stabilisce che in uno spazio di misura l'orbita di quasi tutti i punti contenuti in un insieme ${\displaystyle A}$ di tale spazio, la cui misura è ${\displaystyle \mu (A)}$, ritornano in ${\displaystyle A}$ entro un tempo medio inversamente proporzionale a ${\displaystyle \mu (A)}$.[2]

Il lemma estende quanto affermato dal teorema di ricorrenza di Poincaré, in cui si dimostra che i punti ritornano in ${\displaystyle A}$ infinite volte.[3]

Poiché lo spazio delle fasi di un sistema dinamico a ${\displaystyle n}$ variabili e limitato, ossia con le ${\displaystyle n}$ variabili che hanno tutte un minimo e un massimo, è, per il teorema di Liouville, uno spazio di misura, il lemma implica che data una configurazione del sistema (punto dello spazio) il tempo di ritorno medio vicino a tale configurazione (in un intorno del punto) è inversamente proporzionale alla grandezza in volume dell'intorno considerato.

Normalizzando a 1 la misura complessiva dello spazio, esso diventa uno spazio di probabilità e la misura ${\displaystyle P(A)}$ di un suo insieme ${\displaystyle A}$ rappresenta la probabilità di trovare il sistema negli stati rappresentati dai punti di tale insieme. In questo caso il lemma implica che quanto più piccola è la probabilità di trovarsi in un certo stato (o intorno di esso), tanto più lungo è il tempo di ritorno vicino a tale stato.[4]

In formule, se ${\displaystyle A}$ è la regione intorno al punto iniziale e ${\displaystyle T_{R}}$ il tempo di ritorno, il suo valore medio è:

${\displaystyle \langle T_{R}\rangle =\tau /P(A)}$

Dove ${\displaystyle \tau }$ è un tempo caratteristico del sistema considerato.

Si noti che poiché il volume di ${\displaystyle A}$, quindi ${\displaystyle P(A)}$, dipende esponenzialmente dal numero di variabili del sistema (${\displaystyle A=\epsilon ^{n}}$, con ${\displaystyle \epsilon }$ lato infinitesimo, quindi minore di 1, del volume in ${\displaystyle n}$ dimensioni),[5] ${\displaystyle P(A)}$ decresce esponenzialmente all'aumentare delle variabili in gioco nel sistema e di conseguenza cresce esponenzialmente il tempo di ritorno.[6]

In pratica, all'aumentare delle variabili necessarie per descrivere il sistema, il tempo di ritorno cresce rapidamente.[7]

Intuitivamente è abbastanza ovvio comprendere che se le configurazioni possibili sono di numero finito prima o poi si ripeteranno. Altrettanto intuitivo è che le configurazioni più probabili si ripeteranno più frequentemente.

Note

1. (EN) Mark Kac, On the notion of recurrence in discrete stochastic processes (PDF), in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53, n. 10, 1947, pp. 1002-1010, DOI:10.1090/S0002-9904-1947-08927-8.
2. (EN) Michael Hochman, Notes on ergodic theory (PDF), su math.huji.ac.il, 27 gennaio 2013, p. 20.
3. (EN) Charles Walkden, MAGIC: 10 lectures course on ergodic theory – Lecture 5, su personalpages.manchester.ac.uk.
4. (EN) Tiago Pereira, Lecture Notes - Introduction to Ergodic Theory (PDF), su Imperial College London, Dipartimento di Matematica, p. 12.
5. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\epsilon ^{n}=0\quad {\text{per}}\quad 0<\epsilon <1.\quad }$Si veda Limite notevole.
6. Luca Gammaitoni e Angelo Vulpiani, Perché è difficile prevedere il futuro, Bari, Edizioni Dedalo, 2019, p. 91, ISBN 978-88-220-6882-8.
7. (EN) Karl E.Petersen, Ergodic Theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1983, p. 37, ISBN 0-521-23632-0.

Bibliografia

• (EN) Mark Kac, On the notion of recurrence in discrete stochastic processes (PDF), in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53, n. 10, 1947, pp. 1002-1010.
• (EN) MAGIC: 10 lectures course on ergodic theory - Lecture 5, su personalpages.manchester.ac.uk. URL consultato il 24 marzo 2020.

Voci correlate

• Mark Kac
• Teorema di Birkhoff
• Teorema di ricorrenza
• Teoria ergodica