Lemma di Jordan

In matematica, il lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.

Enunciato

Data una funzione ${\displaystyle f(z)}$ continua su ${\displaystyle \mathbb {C} }$, sia ${\displaystyle \gamma _{R}}$ un arco di circonferenza centrato nell'origine del piano di Gauss e raggio ${\displaystyle R}$ la cui ascissa curvilinea si estenda tra ${\displaystyle \theta _{1}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}}$, tali che ${\displaystyle 0\leq \theta _{1}<\theta _{2}\leq \pi }$. Se

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }\,\max _{\theta \in [\theta _{1};\theta _{2}]}|f(Re^{i\theta })|=0,}$

allora

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz=0,}$

ove ${\displaystyle \omega }$ è un qualunque numero reale positivo.

Si osservi che tale arco di circonferenza giace nel semipiano superiore del piano di Gauss. In effetti è sufficiente che ${\displaystyle \gamma _{R}}$ sia omotopo ad un arco di circonferenza.

Dimostrazione

Essendo per ipotesi

${\displaystyle \max _{z\in \gamma _{R}}\left|f(z)\right|=M_{R}\Rightarrow \lim _{R\rightarrow +\infty }M_{R}=0}$

allora parametrizzando ${\displaystyle \gamma _{R}(t)=Re^{it}}$

${\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})e^{\omega iRe^{it}}iR\right|dt\leq R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})\right|\cdot \left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt}$

in particolare

${\displaystyle \left|e^{i\omega Re^{it}}\right|=\left|e^{\omega Ri(\cos t+i\sin t)}\right|=\left|e^{\omega R(i\cos t-\sin t)}\right|\leq e^{-\omega R\sin t}}$

quindi

${\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}e^{-\omega R\sin t}dt\leq M_{R}R\int _{0}^{\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R\sin t}dt}$

la funzione ${\displaystyle g(t)=\sin t,\,t\in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}}$ è maggiorante della funzione ${\displaystyle h(t)={\frac {2}{\pi }}t,\,t\in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}}$ quindi

${\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq 2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}dt=-2M_{R}R\left[e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\omega R}}=-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)}$

passando al limite per ${\displaystyle R\rightarrow +\infty }$

${\displaystyle 0\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }\left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)=0}$

ovvero l'asserto.

Osservazioni

Prima

Omettendo l'ipotesi che ${\displaystyle \lim _{R\to +\infty }M_{R}=0}$ resta dimostrata la seguente stima

${\displaystyle {\bigg |}\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz{\bigg |}\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}(1-e^{-\omega R})\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}}$

Seconda

L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$. Sembrerebbe essere escluso il caso con ${\displaystyle \omega }$ negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo ${\displaystyle \left[\pi ,2\pi \right]}$.

La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di ${\displaystyle -\sin t}$ con ${\displaystyle 1}$, in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione

${\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\pi }^{2\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=M_{R}R\int _{-\pi }^{0}e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{-\omega R\sin t}dt\leq 2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{\omega R}dt}$

da cui la maggiorazione

${\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \pi e^{\omega R}M_{R}}$

Terza

In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.

Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:

${\displaystyle \int _{\gamma _{R}}f(z)\,e^{-i\omega z}\,dz}$

con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti

${\displaystyle \int _{\gamma _{R}}=\int _{\Gamma }-\int _{{\tilde {\gamma }}_{R}}}$

ove su ${\displaystyle \Gamma }$ si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio ${\displaystyle R}$.

Invece su ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{R}}$ si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{R}}$ apporta un contributo nullo.

Quarta

Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.

Voci correlate

• Teorema dei residui
• Analisi complessa
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo
• Polo (analisi complessa)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Lemma di Jordan, su MathWorld, Wolfram Research.