Legge di annullamento del prodotto

In algebra elementare la legge di annullamento del prodotto afferma che se due numeri reali danno prodotto zero allora almeno uno dei due fattori è zero. In formula:

${\displaystyle ab=0\Rightarrow a=0\lor b=0}$

Si può generalizzare questo concetto in algebra astratta, nella teoria degli anelli, con enunciato pressoché uguale, ove con zero si intenderà lo zero dell'anello[1]. Un anello per cui valga tale legge prende il nome di dominio di integrità.

È possibile dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sicuramente verificata sui corpi, in virtù dell'esistenza dell'elemento inverso rispetto al prodotto per ogni elemento diverso da 0.

Dimostrazione

Si assuma per assurdo che esista una coppia di elementi ${\displaystyle x,y}$ appartenenti a un corpo ${\displaystyle K,}$ entrambi non nulli, tali che ${\displaystyle x\cdot y=0}$.

Moltiplicando a sinistra entrambi i membri per l'elemento inverso di ${\displaystyle x}$ e applicando le proprietà dei corpi si ottiene:

${\displaystyle x^{-1}\cdot x\cdot y=x^{-1}\cdot 0.}$

Poiché in un corpo

${\displaystyle a\cdot 0=0,}$

infatti

${\displaystyle a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0}$

quindi, per la legge di cancellazione, si ha

${\displaystyle a\cdot 0=0}$

e quindi

${\displaystyle 1\cdot y=0}$

${\displaystyle y=0}$

che contraddice l'ipotesi che entrambi gli elementi fossero non nulli.

Note

1. La proprietà inversa, ovvero che per ogni elemento x il prodotto ${\displaystyle x*0=0}$, fa parte delle proprietà di base degli anelli

Voci correlate

• Anello (algebra)
• Corpo (matematica)
• Dominio di integrità
• Moltiplicazione

Collegamenti esterni

• annullamento del prodotto, legge di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Legge di annullamento del prodotto, su MathWorld, Wolfram Research.