Legge delle aspettative iterate

Nella teoria della probabilità, la legge delle aspettative iterate, o legge dell'aspettativa totale, o legge delle aspettazioni iterate, o legge dei valori attesi iterati (anche conosciuta sotto una varietà di ulteriori denominazioni), afferma che se ${\displaystyle X}$ è una variabile casuale integrabile — ossia, tale che ${\displaystyle {\textrm {E}}|X|<\infty }$ — e ${\displaystyle Y}$ è un'ulteriore variabile casuale, non necessariamente integrabile, definita sul medesimo spazio di probabilità, allora:

${\displaystyle \ {\textrm {E}}[{\textrm {E}}[X|Y]]={\textrm {E}}[X]}$

ossia, il valore atteso del valore atteso di ${\displaystyle \ X}$ condizionato rispetto a ${\displaystyle \ Y}$ è uguale al valore atteso di ${\displaystyle \ X}$ stesso.

Si osservi che:

• Il valore atteso condizionato ${\displaystyle {\textrm {E}}[X|Y]}$ è una variabile casuale;
• Il valore atteso di ${\displaystyle X}$ condizionato all'evento ${\displaystyle \left\{Y=y\right\}}$, ${\displaystyle \ {\textrm {E}}[X|Y=y]}$, è a sua volta funzione di ${\displaystyle y}$.

Voci correlate

• Teorema della probabilità totale
• Legge della varianza totale