Intero algebrico

In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo: ${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$ dove i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ sono tutti numeri interi.

Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. La chiusura algebrica dei numeri razionali è formata dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali. L'insieme dei numeri algebrici ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e l'insieme dei numeri trascendenti ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ formano il campo complesso, cioè

${\displaystyle \mathbb {C} ={\mathcal {A}}\cup {\mathcal {T}}.}$

Quindi un intero algebrico è un tipo particolare di numero algebrico. L'insieme degli interi algebrici è della forma

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left\{\alpha \in \mathbb {C} |\quad \exists f(x)\in \mathbb {Z} [x],\quad f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\quad f(\alpha )=0,\quad a_{i}\in \mathbb {Z} ,\,\,n\in \mathbb {N} \right\}\subseteq {\mathcal {A}},}$

dove ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ indica l'anello dei polinomi formato dall'insieme di polinomi in una o più indeterminate con coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

L'insieme ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ è un sottoanello del campo complesso.[1]

Esempi

• I numeri interi sono interi algebrici, perché radici del polinomio ${\displaystyle f(x)=x-n}$.
• I numeri razionali non interi non sono interi algebrici: non sono infatti radici di un polinomio monico a coefficienti interi.
• Se ${\displaystyle q}$ è una radice dell'unità, gli interi algebrici contenuti nel campo ciclotomico ${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$ sono precisamente gli elementi in ${\displaystyle \mathbb {Z} [q]}$, ovvero tutti i numeri che possono essere scritti come combinazione lineare di potenze di ${\displaystyle q}$ a coefficienti interi:

${\displaystyle a_{k}q^{k}+\ldots +a_{1}q+a_{0}}$

Note

1. (EN) C. Carstensen-Opitz, B. Fine, A. Moldenhauer, G. Rosenberger, 20. Integral and transcendental extensions, in Abstract Algebra, Berlino, De Gruyter, 2019, DOI:10.1515/9783110603996, ISBN 9783110603996.

Voci correlate

• Numero algebrico
• Intero gaussiano
• Radice dell'unità

Collegamenti esterni

• (EN) algebraic integer, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Intero algebrico, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Intero algebrico, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.