Insieme polare (teoria del potenziale)

In matematica, in particolare nell'ambito della teoria del potenziale, un insieme polare è un insieme ${\displaystyle Z}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (con ${\displaystyle n\geq 2}$) tale per cui esiste una funzione subarmonica non-costante ${\displaystyle u:G\to \mathbb {R} ^{n}\cup \{-\infty \}}$, con ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$, che assume valore ${\displaystyle -\infty }$ solo nei punti di ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle Z\equiv \{x:u(x)=-\infty \}}$

Viene anche definito come un insieme ${\displaystyle Z}$ tale per cui esiste un potenziale ${\displaystyle U_{\mu }}$, con ${\displaystyle \mu }$ una misura di Borel, che assume valore ${\displaystyle -\infty }$ solo nei punti di ${\displaystyle Z}$.

Proprietà

• Un singleton in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è un insieme polare.
• Un insieme numerabile in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è polare.
• L'unione di una collezione numerabile di insiemi polari è un insieme polare.
• La misura di Lebesgue di un insieme polare in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è nulla.

Bibliografia

• (EN) Joseph L. Doob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 262, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verlag, 1984, ISBN 3-540-41206-9, Zbl 0549.31001.
• (EN) L. L. Helms, Introduction to potential theory, R. E. Krieger, 1975, ISBN 0-88275-224-3.
• (EN) Thomas Ransford, Potential theory in the complex plane, London Mathematical Society Student Texts, vol. 28, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-46654-7, Zbl 0828.31001.

Voci correlate

• Funzione subarmonica

Collegamenti esterni

• (EN) polar set, in PlanetMath.