Granulometria (morfologia)

In morfologia matematica la Granulometria è un approccio al calcolo della distribuzione dei grani in immagini binarie usando una serie di operazione morfologiche di apertura (opening). Fu introdotta da Georges Matheron negli anni '60 del XX secolo,ed è la base per la caratterizzazione del concetto di grandezza nella morfologia matematica.

Granulometria generata da un elemento strutturale

Sia B un elemento strutturale in uno spazio euclideo o in una griglia E, e considera la famiglia${\displaystyle \{B_{k}\}}$, ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$, data da:

${\displaystyle B_{k}=\underbrace {B\oplus \ldots \oplus B} _{k{\mbox{ times}}}}$,

dove ${\displaystyle \oplus }$ denota dilatazione morfologica. Per convenzione, ${\displaystyle B_{0}}$ è l'insieme che contiene solamente l'origine di E, e ${\displaystyle B_{1}=B}$.

Sia X un insieme (i.e., una immagine binaria in morfologia matematica), e considera una serie di insiemi ${\displaystyle \{\gamma _{k}(X)\}}$, ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$, dati da:

${\displaystyle \gamma _{k}(X)=X\circ B_{k}}$,

dove ${\displaystyle \circ }$ denota una apertura morfologica.

La funzione di granulometria ${\displaystyle G_{k}(X)}$ è la cardinalità (i.e., area o volume, in uno spazio euclideo continuo, o il numero di elementi, in una griglia) dell'immagine ${\displaystyle \gamma _{k}(X)}$ data da:

${\displaystyle PS_{k}(X)=G_{k}(X)-G_{k+1}(X)}$.

Lo spettro di pattern o la distribuzione della dimensione di X è una collezione di insiemi ${\displaystyle \{PS_{k}(X)\}}$, ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$, data da:

${\displaystyle PS_{k}(X)=G_{k}(X)-G_{k+1}(X)}$.

Al parametro k si fa riferimento come dimensione, e al componente k dello spettro di pattern ${\displaystyle PS_{k}(X)}$ fornisce una stima grezza per l'ammontare di grani di dimensione k nell'immagine X. I picchi di ${\displaystyle PS_{k}(X)}$ indicano relativamente una grande quantità di grani alle corrispondenti dimensioni.

Voci correlate

• morfologia matematica
• apertura (morfologia)
• immagine binaria
• elemento strutturale