Funzione q-esponenziale

Nella matematica combinatoria e nello studio delle funzioni speciali il termine q-esponenziale viene usato per due q-analoghi della classica funzione esponenziale.

Definizioni

Consideriamo le seguenti funzioni

${\displaystyle e_{q}(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})^{-1}={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}}$

e

${\displaystyle E_{q}(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n \choose 2}z^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1+q^{n}z)=(-z;q)_{\infty }}$ .

dove

${\displaystyle (z;q)_{n}:=(1-z)(1-zq)\cdots (1-zq^{n-1})}$

è il q-fattoriale crescente. Che la prima funzione costituisca un q-analogo dell'esponenziale ordinario segue dalla proprietà

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)}$

dove l'operatore di derivazione a sinistra è la q-derivata. L'identità precedente si verifica facilmente considerando la q-derivata del monomio

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}}$ .

Qui ${\displaystyle [n]_{q}}$ denota il q-bracket.

Proprietà

Per q reale con ${\displaystyle q<1}$ la funzione ${\displaystyle e_{q}(z)}$ è una funzione intera di z.

Espressione ipergeometrica

In termini della q-serie ipergeometrica, la prima funzione q-esponenziale ${\displaystyle e_{q}(t)}$ viene espressa da

${\displaystyle e_{q}(z)=\;_{1}\phi _{0}(0;q,z)}$ .

Esiste una simile espressione per la seconda funzione in termini della q-serie ipergeometrica generalizzata.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione q-esponenziale, su MathWorld, Wolfram Research.