Fattore di Fano

Il fattore di Fano è un coefficiente di variazione introdotto nel 1947 dal fisico Ugo Fano.[1]

Si tratta di un fattore di correzione che lega la varianza di una statistica poissoniana alla varianza misurata sperimentalmente:[2]

${\displaystyle F={\frac {\sigma _{sper}^{2}}{\sigma _{pois}^{2}}}}$

dove ${\displaystyle F}$ indica il fattore di Fano, mentre ${\displaystyle \sigma _{sper}^{2}}$ indica la varianza sperimentale misurata e ${\displaystyle \sigma _{pois}^{2}}$ quella teorica.

Utilizzo

Distribuzione poissoniana, approssimata con la gaussiana, per i valori di energia misurati da un rivelatore, ed FWHM, senza la correzione del fattore di Fano.

Distribuzione poissoniana, approssimata con la gaussiana, per i valori di energia misurati da un rivelatore, ed FWHM, con la correzione del fattore di Fano. Nell'esempio specifico in figura, ${\displaystyle F=0,16\ ({\sqrt {F}}=0,4)\ .}$

Andando a misurare la risoluzione energetica di un rivelatore a semiconduttore o a gas, si trova un valore più basso rispetto alla previsione teorica dovuta alla statistica poissoniana. Poiché i processi di ionizzazione non sono del tutto indipendenti ma legati alle shell elettroniche discrete, non è possibile utilizzare la statistica poissoniana e bisogna quindi introdurre una correzione.

Consideriamo un fascio di particelle ionizzanti incidenti sul rivelatore, ciascuna di energia E. Indicata con w l'energia di ionizzazione del materiale, cioè l'energia necessaria per produrre una singola ionizzazione (generazione di coppia ione-elettrone), ci si aspetta che il numero medio di ionizzazioni (di coppie) prodotte da una singola particella ionizzante sia:[3]

${\displaystyle N={\frac {E}{w}}}$

Secondo la statistica poissoniana, la cui distribuzione ha la proprietà che la varianza è numericamente uguale al valore atteso, il cui stimatore è il valor medio, che in questo caso è N, la varianza è data da:

${\displaystyle \sigma _{pois}^{2}=N}$.

La varianza corretta con il fattore di Fano risulta essere:

${\displaystyle \sigma ^{2}=F\ N}$.

Quando il valor medio N è molto grande, la distribuzione di Poisson può essere approssimata con la distribuzione normale il cui andamento è descritto da una gaussiana. Nel caso di picchi energetici gaussiani, per calcolare la risoluzione energetica si utilizza la relazione tra la FWHM e la deviazione standard ${\displaystyle \sigma }$:

${\displaystyle FWHM\approx 2,35\ \sigma }$.

Si noti che, fino a questo punto del discorso, dal punto di vista dell'analisi dimensionale, poiché N ed F sono numeri puri, sono tali anche ${\displaystyle \sigma }$ e FWHM. Per tale motivo, se siamo interessati alla deviazione standard o alla FWHM della distribuzione dei valori dell'energia misurati dal rivelatore, allo scopo di ottenere un'energia occorre moltiplicare tali numeri puri per l'energia w corrispondente ad un singolo evento di ionizzazione:

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma (E)=\sigma \ w}$

${\displaystyle FWHM(E)\approx 2,35\ \sigma (E)=2,35\ \sigma \ w\ .}$

La risoluzione energetica percentuale è il rapporto tra la FWHM e il valore di energia E corrispondente al picco nella distribuzione di valori misurati dal rivelatore:

${\displaystyle R={\frac {FWHM(E)}{E}}\approx {\frac {2,35\ \sigma (E)}{E}}}$

e dalle relazioni precedenti si ottiene:

${\displaystyle R\approx {\frac {2,35\ \sigma \ w}{E}}\approx {\frac {2,35\ {\sqrt {F\ N}}\ w}{N\ w}}={\frac {2,35{\sqrt {FN}}}{N}}\ .}$

In definitiva, la risoluzione energetica percentuale risulta essere:[3][4][5]

${\displaystyle R=2,35{\sqrt {\frac {F}{N}}}=2,35{\sqrt {\frac {F\ w}{E}}}}$.

Valore

Il fattore di Fano è un coefficiente numerico compreso tra 0 e 1: il valore dipende dal materiale che compone il rivelatore, in particolare più il valore è basso e migliore sarà la risoluzione del rivelatore. Il fattore di Fano è una caratteristica importante dei materiali che compongono i rivelatori di particelle, è stato calcolato per il silicio e il germanio che compongono i diversi tipi di rivelatori a semiconduttore[6] e per diverse misture di gas nobili (argon, xeno, kripton) utilizzate nei rivelatori a gas.[4][5][7][8]

Note

1. (EN) U. Fano, Ionization Yield of Radiations. II. The Fluctuations of the Number of Ions, Phys. Rev. 72, 26, 1º luglio 1947, DOI:10.1103/PhysRev.72.26.
2. University of Liverpool - The Fano factor
3. William R. Leo, Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments: A - How to Approach, ISBN 978-3540572800.
4. Il fattore di Fano - valori misurati per misture di gas nobili, su arpg-serv.ing2.uniroma1.it. URL consultato il 18 marzo 2021.
5. Il fattore di Fano - valori misurati per misture di gas nobili Archiviato il 26 dicembre 2014 in Internet Archive.
6. (EN) B.G. Lowe, Measurements of Fano factors in silicon and germanium in the low-energy X-ray region, 11 novembre 1997, DOI:10.1016/S0168-9002(97)00965-0.
7. (EN) M. Kase, T. Akioka, H. Mamyoda∗, J. Kikuchi, T. Doke, Fano factor in pure argon, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment 227 (2): 311, 15 novembre 1984, DOI:10.1016/0168-9002(84)90139-6.
8. (EN) Do Carmo, S.J.C.; Borges, F.I.G.M.; Vinagre, F.L.R.; Conde, C.A.N., Experimental Study of the w-Values and Fano Factors of Gaseous Xenon and Ar-Xe Mixtures for X-Rays, IEEE Transactions on Nuclear Science 55 (5): 2637, 2008, DOI:10.1109/TNS.2008.2003075.

Voci correlate

• Ugo Fano
• Risoluzione (metrologia)
• Distribuzione di Poisson
• Rivelatore a semiconduttore
• Rivelatore a gas
• Larghezza a metà altezza

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