Equazione di Saha

L'equazione di Saha, nota anche come equazione di Saha-Langmuir, è una equazione matematica che descrive in modo elementare lo stato di ionizzazione di un plasma al variare della temperatura[1]. Deve il nome all'astrofisico indiano Meghnad Saha che la introdusse nel 1920; Irving Langmuir la formulò in modo indipendente nel 1923. Trova fondamentale applicazione in astrofisica, nell'interpretazione degli spettri stellari. Viene solitamente dedotta combinando concetti di meccanica quantistica e di meccanica statistica.

Equazione

Trascurando le costanti dimensionali, ovvero scegliendo un opportuno sistema di unità di misura, l'equazione ha la forma elementare[1]:

${\displaystyle \log n_{e}+\log n_{i}-\log n=f(T)}$

dove:

${\displaystyle f(T)={\frac {3}{2}}\log T-{\frac {E_{0}}{T}}}$

Approfondimento

Per un gas ad una temperatura sufficientemente elevata, la collisione termica degli atomi ionizza alcuni di essi. Uno o più elettroni normalmente presenti negli orbitali atomici sfuggono al nucleo cui sono legati, formando una nube elettronica che coesiste con il gas ionizzato e con i restanti atomi allo stato neutro. Questo stato della materia è detto plasma. L'equazione di Saha descrive lo stato di ionizzazione del plasma in funzione della temperatura, della densità e dell'energia di ionizzazione degli atomi e ha validità solo per plasmi debolmente ionizzati per i quali è rilevante la lunghezza di Debye. In queste condizioni, la schermatura di carica degli elettroni e degli ioni da parte di altri ioni ed elettroni è trascurabile, così come sono trascurabili il conseguente abbassamento dei potenziali di ionizzazione e la variazione della funzione di partizione.

Per un gas composto da una singola specie atomica, l'equazione di Saha assume la forma:

${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{e}}{n_{i}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}{k_{B}T}}\right]}$

laddove:

• ${\displaystyle n_{i}}$ è la densità degli atomi nell'i-simo stato di ionizzazione, caratterizzato da i elettroni rimossi dall'atomo neutro
• ${\displaystyle g_{i}}$ è il numero degli stati degeneri degli ioni i
• ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ è l'energia necessaria per rimuovere i elettroni da un atomo neutro
• ${\displaystyle n_{e}}$ è la densità elettronica
• ${\displaystyle \Lambda }$ è la lunghezza d'onda dell'elettrone

${\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi m_{e}\,k_{B}T}}}}$

• ${\displaystyle m_{e}}$ è la massa di un elettrone
• ${\displaystyle T}$ è la temperatura del gas (in unità energetiche: keV, J...)
• ${\displaystyle h}$ è la costante di Planck
• ${\displaystyle k_{B}}$ è costante di Boltzmann

Nel caso in cui un solo livello di ionizzazione sia rilevante, si ha ${\displaystyle n_{1}=n_{e}}$ e, definendo la densità totale n  come ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}}$, l'equazione si semplifica nella forma:

${\displaystyle {\frac {n_{e}^{2}}{n-n_{e}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{B}T}}\right]}$

dove ${\displaystyle \varepsilon }$ è l'energia di ionizzazione.

L'equazione di Saha è utile per calcolare la densità di particelle in due diversi stati di ionizzazione. A tale scopo, la forma più utile dell'equazione è la seguente:

${\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}}}$,

dove Z denota la funzione di partizione. L'equazione di Saha può essere vista come una riaffermazione della condizione di equilibrio dei potenziali chimici:

${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}}$

Note

1. Pucella, Segre, Fisica dei plasmi, Zanichelli, par. 1.1 Gas ionizzati

Collegamenti esterni

• (EN) Saha equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) A detailed derivation dal Dipartimento di Fisica dell'Università dello Utah
• (EN) Lecture notes dal Dipartimento di Astrofisica dell'Università del Maryland
• (EN) Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135–153
• (EN) Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment Archiviato il 24 novembre 2011 in Internet Archive., Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148–160