Equazione di Ramanujan-Nagell

In teoria dei numeri, l'equazione di Ramanujan-Nagell è la seguente equazione diofantea esponenziale:

${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$

Si hanno soluzioni per questa equazione solo per

n = 3, 4, 5, 7 e 15 [1].

che corrispondono a valori della x pari a 1, 3, 5, 11 e 181[2]. Ciò fu congetturato da Srinivasa Ramanujan e dimostrato da Trygve Nagell[3].

Generalizzazioni

L'equazione

${\displaystyle 2^{n}=x^{2}+7y^{2}}$

ammette una soluzione unica per x e y interi positivi dispari ed n ≥ 3. Questa equazione fu presa in considerazione da Eulero, che non la pubblicò.[4]

Bugeaud, Mignotte e Siksek[5] hanno risolto completamente l'equazione:

${\displaystyle x^{2}+7=y^{n}}$

Herrmann, Luca e Walsh[6] hanno risolto:

${\displaystyle x^{2}+7y^{4}=2^{n_{1}}7^{n_{2}}11^{n_{3}}}$

Altri autori, tra cui Beukers[7], hanno studiato l'equazione:

${\displaystyle x^{2}-D=2^{n}}$

con ${\displaystyle D}$ intero. Apéry[8] dimostrò che, se ${\displaystyle D<0}$ e ${\displaystyle D\neq -7}$, vi sono al più due soluzioni. Browkin e Schinzel[9] congetturarono che il numero di soluzioni è pari a due se solo se ${\displaystyle D=-23}$ oppure ${\displaystyle D=1-2^{k}}$ per qualche ${\displaystyle k\geq 3}$. Schinzel[10] dimostrò che, se ${\displaystyle D}$ non è della forma ${\displaystyle 1-2^{k}}$, l'equazione ha al massimo una sola soluzione con ${\displaystyle n>80}$. La congettura completa di Browkin e Schinzel fu dimostrata da Beukers.

Beukers ha anche considerato[11] l'ulteriore generalizzazione

${\displaystyle x^{2}-D=p^{n}}$

con ${\displaystyle D>0}$ e ${\displaystyle p}$ primo dispari non divisore di ${\displaystyle D}$, dimostrando che vi sono al più 4 soluzioni in interi positivi ${\displaystyle x}$ ed ${\displaystyle n}$.

Note

1. (EN) Sequenza A060728, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
2. (EN) Sequenza A038198, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
3. T. Nagell, The diophantine equation x^2 + 7 = 2^n, Arkiv matematik 4 (1960), 185–187.
4. A. Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, New York, 1999, ISBN 0-387-98219-1
5. Y. Bugeaud, M. Mignotte and S. Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II: The Lebesgue-Nagell equation, Compositio Mathematica 142 (2006), 31–62
6. E. Herrmann, F. Luca and P. G. Walsh, A note on the Ramanujan-Nagell equation, Publ. Math. Debrecen 64 (2004), no. 1-2, 21–30.
7. F. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation I, Acta Arith. 38 (1980), 389–410. pdf
8. R. Apéry, Sur une équation diophantienne, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 251 (1960), 1263-1264.
9. J. Browkin, A. Schinzel, On the equation 2^n-D=y^2, Bull. Acad. Polon. Sci. Math. Astronom. Phys. 8 (1960), pp.311-318.
10. A. Schinzel, On two theorems of Gelfond and some of their applications, Acta Arith. 13 (1967), 177-236.
11. F. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation II, Acta Arith. 39 (1981), 113–123. pdf

Bibliografia

• M. A. Bennett, M. Filaseta and O. Trifonov, Yet another generalization of the Ramanujan-Nagell equation, 2007. pdf

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Ramanujan's Square Equation, su MathWorld, Wolfram Research.