Equazione di Lane-Emden

Soluzioni dell'equazione di Lane-Emden per n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

In astrofisica, l'equazione di Lane-Emden è una forma adimensionale dell'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale di un fluido politropico, autogravitante, a simmetria sferica. Prende il nome dagli astrofisici Jonathan Homer Lane e Robert Emden.[1] L'equazione è

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}$

dove ${\displaystyle \xi }$ è un raggio adimensionale e ${\displaystyle \theta }$ si riferisce alla densità, e quindi alla pressione, tramite ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ per la densità centrale ${\displaystyle \rho _{c}}$. L'indice ${\displaystyle n}$ è l'indice politropico che appare nell'equazione di stato politropica,

${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}$

dove ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle \rho }$ sono rispettivamente la pressione e la densità, e ${\displaystyle K}$ è una costante di proporzionalità. Le condizioni al contorno standard sono ${\displaystyle \theta (0)=1}$ e ${\displaystyle \theta '(0)=0}$. Le soluzioni quindi descrivono l'andamento della pressione e della densità con il raggio e sono conosciute come politropiche di indice ${\displaystyle n}$. Se si considera un fluido isotermico (con indice politropico tendente a infinito) invece di uno politropico, si ottiene l'equazione di Emden-Chandrasekhar.

Applicazioni

Fisicamente, l'equilibrio idrostatico collega il gradiente del potenziale, la densità e il gradiente della pressione, mentre l'equazione di Poisson collega il potenziale con la densità. Pertanto, se abbiamo un'equazione ulteriore che detta come la pressione e la densità variano l'una rispetto all'altra, si può ottenere una soluzione. La scelta di un gas politropico porta all'equazione di Lane–Emden. L'equazione è un'utile approssimazione per le sfere di plasma autogravitanti come le stelle, ma tipicamente è un'assunzione piuttosto limitata.

Derivazione

Dall'equilibrio idrostatico

Si consideri un fluido autogravitante a simmetria sferica in equilibrio idrostatico. La massa si conserva e quindi vale l'equazione di continuità

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

dove ${\displaystyle \rho }$ è una funzione di ${\displaystyle r}$. L'equazione dell'equilibrio idrostatico è

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$

dove anche ${\displaystyle m}$ è una funzione di ${\displaystyle r}$. Fare di nuovo la derivata produce

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$

dove l'equazione di continuità è stata usata per sostituire il gradiente di massa. Moltiplicando ambo i membri di ${\displaystyle r^{2}}$ e raccogliendo le derivate di ${\displaystyle P}$ a sinistra, si può scrivere

${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$

Dividere ambo i membri per ${\displaystyle r^{2}}$ dà, in un certo senso, una forma dimensionale dell'equazione desiderata. Se, inoltre, si sostituisse per l'equazione politropica di stato con ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ e ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$, si ha

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$

Raccogliendo i costanti e sostituendo ${\displaystyle r=\alpha \xi }$, dove

${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}$

abbiamo l'equazione di Lane-Emden,

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

Dall'equazione di Poisson

Si può cominciare in maniera equivalente con l'equazione di Poisson,

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }$

Si può sostituire il gradiente del potenziale usando l'equilibrio idrostatico, per mezzo di:

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$

che analogamente porta alla forma dimensionale dell'equazione di Lane–Emden.

Soluzioni esatte

Per un certo valore dell'indice politropico ${\displaystyle n}$, indichiamo la soluzione all'equazione di Lane-Emden come ${\displaystyle \theta _{n}(\xi )}$. In generale, l'equazione di Lane–Emden deve essere risolta numericamente per trovare ${\displaystyle \theta _{n}}$, ma esistono soluzioni esatte e analitiche per ${\displaystyle n=0,1,5}$. Tuttavia, per ${\displaystyle n}$ tra 0 e 5, le soluzioni sono continue e finite, e il raggio della stella è dato da

${\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}$,

dove ${\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}$.

Per una certa soluzione ${\displaystyle \theta _{n}}$, il profilo della densità è dato da

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}}$.

La massa totale ${\displaystyle M}$ di una determinata stella si ottiene integrando la densità da 0 a ${\displaystyle \xi _{1}}$.

La pressione può essere trovata usando l'equazione di stato politropica, ${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}$, ovvero

${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}$

Infine, se il gas è perfetto, l'equazione di stato è ${\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }$, dove ${\displaystyle k_{B}}$ è la costante di Boltzmann e ${\displaystyle \mu }$ la massa molecolare media. Il profilo di temperatura è quindi dato da

${\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}$

Come sopra indicato, l'equazione di Lane–Emden è integrabile solo per tre valori dell'indice politropico ${\displaystyle n}$.

Per n = 0

Se ${\displaystyle n=0}$, l'equazione diventa

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}$

Riordinando e integrando si arriva a

${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$

Dividere ambo i membri per ${\displaystyle \xi ^{2}}$ e integrare di nuovo fornisce

${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

Le condizioni al contorno ${\displaystyle \theta (0)=1}$ e ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ implicano che le costanti di integrazione sono ${\displaystyle C_{0}=1}$ e ${\displaystyle C_{1}=0}$. Pertanto,

${\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

Per n = 1

Quando ${\displaystyle n=1}$, l'equazione può essere sviluppata nella forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$

Si assume che la soluzione sia una serie di potenze:

${\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}$

Ciò porta a una relazione ricorsiva per i coefficienti dello sviluppo:

${\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}$

Questa relazione può essere risolta, ottenendo la soluzione generale:

${\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}$

La condizione al contorno per una politropica fisica richiede che ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}$ per ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$. Questo richiede che ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}$, arrivando così alla soluzione:

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$

Per n = 5

Si inizia dall'equazione di Lane–Emden:

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}$

Riscrivendo per ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}$ si ottiene:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}$

Derivando rispetto a ξ porta a:

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$

Che semplificato diventa:

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$

Pertanto l'equazione di Lane–Emden ha la soluzione

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$

quando ${\displaystyle n=5}$.

Note

1. Jonathan Homer Lane, On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment, in American Journal of Science, 2, vol. 50, n. 148, 1870, pp. 57–74, Bibcode:1870AmJS...50...57L, DOI:10.2475/ajs.s2-50.148.57, ISSN 0002-9599 (WC · ACNP).

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Lane-Emden Differential Equation, su MathWorld, Wolfram Research.