Elicità idrodinamica

In fluidodinamica, l’elicità idrodinamica è, sotto appropriate condizioni, un'invariante delle equazioni di Eulero tridimensionali del flusso dei fluidi, che ha interpretazione topologica come misura del link o della nodosità delle linee di vortice di un flusso.[1]

Formalismo matematico

Sia ${\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}$ il campo di velocità e ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} }$ il corrispondente campo di vorticità. Sotto le seguenti tre condizioni, le linee di vortice sono trasportate con il sistema:

1. il fluido è inviscido;
2. il fluido incompressibile (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$) o è compressibile con la relazione barotropica ${\displaystyle p=p(\rho )}$ tra la pressione ${\displaystyle p}$ e la densità ${\displaystyle \rho }$;
3. le forze che agiscono sul fluido sono conservative.

Sotto queste condizioni, ogni superficie chiusa ${\displaystyle S}$ sulla quale ${\displaystyle n\cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0}$ è, come la vorticità, trasportata con il flusso.

Sia ${\displaystyle V}$ il volume all'interno di tale superficie; allora l'elicità in ${\displaystyle V}$ è definita da:

${\displaystyle H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.}$

Per una distribuzione localizzata della vorticità in un fluido non confinato, si può considerare come ${\displaystyle V}$ l'intero spazio e ${\displaystyle H}$ è allora l'elicità totale del flusso. ${\displaystyle H}$ è invariante in quanto le linee di vorticità sono congelate nel flusso e il loro link e la nodosità sono perciò conservati, come riconosciuto già da Lord Kelvin nel 1868. L'elicità è una quantità pseudo scalare, in quanto cambia di segno quando il sistema di riferimento cambia da destrorso a sinistrorso; può quindi essere considerata una misura della chiralità del flusso. L'elicità, assieme all'energia, alla quantità di moto e al momento angolare, sono le sole invarianti integrali conosciute delle equazioni di Eulero in tre dimensioni.

Per due tubi di vorticità con link, ma senza incroci, che hanno circolazioni ${\displaystyle \kappa _{1}}$ e ${\displaystyle \kappa _{2}}$ senza torsioni interne, l'elicità è data da:

${\displaystyle H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}}$,

dove ${\displaystyle n}$ è il numero di incroci dei due tubi, mentre il segno più o il segno meno dipendono dal fatto che il link sia destrorso o sinistrorso.

Per un tubo di vorticità con un solo nodo e circolazione ${\displaystyle \kappa }$, l'elicità è data da:[2]

${\displaystyle H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)}$,

dove ${\displaystyle Wr}$ e ${\displaystyle Tw}$ sono rispettivamente le contorsioni (writhe) e le torsioni (twist) del tubo. La somma ${\displaystyle Wr+Tw}$ è invariante sotto una deformazione continua del tubo.

L'invarianza dell'elicità è un punto fondamentale nella fluidodinamica topologica e nella magnetoidrodinamica, collegata alle proprietà globali dei flussi e alle loro caratteristiche topologiche.

Interpretazione topologica

Il nome "elicità" si basa sul fatto che il movimento delle particelle fluide in un flusso con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e vorticità ${\displaystyle \mathbf {\omega } =\nabla \times \mathbf {v} }$, nelle aree in cui l'elicità cinetica ${\displaystyle \textstyle H^{K}\neq 0}$, forma un'elica. Per ${\displaystyle H^{K}>0}$ il senso è sinistrorso, mentre per ${\displaystyle H^{K}<0}$ è destrorso.

Meteorologia

In meteorologia,[3] l'elicità corrisponde al trasferimento di vorticità dall'ambiente a una particella d'aria in moto convettivo. La definizione matematica semplificata di elicità che utilizza solamente la componente orizzontale del vento e la vorticità è data da:

${\displaystyle H=\int {{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{\mathbf {Z} }=\int {{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases}Z=Altitude\\{\vec {V}}_{h}=Horizontal\ velocity\\{\vec {\zeta }}_{h}=Horizontal\ vorticity\end{cases}}}$

In base a questa formula, se un vento orizzontale non cambia direzione con l'altitudine, H sarà uguale a zero poiché ${\displaystyle V_{h}}$ e ${\displaystyle \nabla \times V_{h}}$ sono perpendicolari tra loro e questo rende nullo il loro prodotto scalare. H invece è positivo se il vento ruota in senso orario all'aumentare dell'altitudine, negativo se ruota in senso antiorario. L'elicità utilizzata in meteorologia ha unità di energia per unità di massa (${\displaystyle {m^{2}}/{s^{2}}}$) e quindi viene interpretata come una misura del trasferimento di energia da parte del wind shear con l'altitudine e la direzionalità.

Questa nozione di elicità è usata per predire la possibilità di formazione di tornado in un temporale. In questo caso, l'integrazione verticale è limitata al di sotto della sommità delle nubi (in genere 3 km) e la componente orizzontale del vento viene calcolata relativamente al temporale sottraendone la velocità di avanzamento:

${\displaystyle SRH=\int {\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases}{\vec {C}}=Cloud\ motion\ to\ the\ ground\end{cases}}}$

Negli USA i valori critici di "elicità relativa a una tempesta" SRH (Storm Relative Helicity) per lo sviluppo di tornado sono:[4]

• SRH = 150-299 ... possibile formazione di supercelle con deboli tornado secondo la scala Fujita
• SRH = 300-499 ... molto favorevole alla formazione di supercelle e forti tornado
• SRH > 450 ... violenti tornado
• Se viene utilizzata solo al di sotto di 1 km, il valore di soglia minima è fissato a 100.

L'elicità tuttavia non è la sola componente dei forti temporali,[5] e per questo motivo è stato creato l'Indice di elicità dell'energia (EHI, Energy Helicity Index), che è dato dal prodotto dell'SRH moltiplicato per l'energia potenziale convettiva disponibile CAPE (Convective Available Potential Energy) e diviso per un valore di soglia:

${\displaystyle EHI={\frac {SRH\cdot CAPE}{160000}}}$

Questo incorpora non solo l'elicità, ma anche l'energia della particella d'aria cercando così di eliminare i bassi potenziali di temporali anche in regioni a forte SRH. I valori critici di EHI sono:

• EHI = 1 ... possibili tornado
• EHI = 1-2 ... tornado da moderati a forti
• EHI > 2 ... forti tornado

Note

1. Moffatt, H.K. (1969), The degree of knottedness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech. 35, pp. 117–129.
2. Moffatt, H.K., Ricca, R.L. (1992), Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant, Proc. R. Soc. Lond. A, 439, pp. 411–429.
3. Martin Rowley, Definitions of terms in meteorology, su homepage.ntlworld.com. URL consultato il 15 luglio 2006 (archiviato dall'url originale il 16 maggio 2006).
4. Storm Prediction Center, EXPLANATION OF SPC SEVERE WEATHER PARAMETERS, su spc.noaa.gov, National Weather Service. URL consultato il 15 luglio 2006.
5. Storm Relative Helicity, su spc.noaa.gov, NOAA. URL consultato l'8 agosto 2014.

Bibliografia

• Batchelor, G.K., (1967, reprinted 2000), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press
• Ohkitani, K., Elementary Account Of Vorticity And Related Equations, Cambridge University Press, January 30, 2005. ISBN 0-521-81984-9
• Chorin, A.J., Vorticity and Turbulence, Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. March 1, 1994. ISBN 0-387-94197-5
• Majda, A.J., Bertozzi, A.L., Vorticity and Incompressible Flow, Cambridge University Press; 1st edition. December 15, 2001. ISBN 0-521-63948-4
• Tritton, D.J., Physical Fluid Dynamics, Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
• Arfken, G., Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5
• Moffatt, H.K. (1969), The degree of knottedness of tangled vortex lines, J. Fluid Mech. 35, pp. 117–129.
• Moffatt, H.K., Ricca, R.L. (1992), Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant, Proc. R. Soc. Lond. A, 439, pp. 411–429.
• Thomson, W. (Lord Kelvin) (1868), On vortex motion, Trans. Roy. Soc. Edin.. 25, pp. 217–260.

Voci correlate

• Vorticità
• Enstrofia
• Chiralità (fisica)
• Teoria dei nodi