Ha ricevuto l'istruzione elementare prima nella città nativa e poi a Streamstown, continuando quella secondaria presso il St Finian's College a Mullingar, dove ha ottenuto il diploma. Sentendo maturare la vocazione al sacerdozio, nel settembre 1972 si è iscritto al St Patrick's College di Maynooth, dove nel 1976 ha conseguito con lode il baccalaureato nelle scienze nell'ambito degli studi filosofici; presso la stessa università ha ottenuto anche il baccalaureato in divinità nel 1979 e la licenza in teologia nel 1981. Prima di terminare gli studi, ha ricevuto l'ordinazione sacerdotale il 7 giugno 1980, nella chiesa di San Michele presso la città natale, incardinandosi, venticinquenne, come presbitero della diocesi di Meath.
Poco dopo l'ordinazione gli è stato affidato il primo incarico pastorale come vicario parrocchiale nella parrocchia della cattedrale di Cristo Re a Mullingar, dove ha servito per quattro anni. Nel 1985 si è trasferito a Roma, in Italia, dove ha intrapreso gli studi post laurea alla Pontificia Università Gregoriana e nel 1988 qui ha conseguito il dottorato in teologia con una tesi intitolata "I fondamenti dogmatici del pensiero di Bernard Häring sulla morale cristiana come modo di vivere sacramentale"; durante il suo ultimo anno nella capitale italiana ha anche servito come direttore della formazione presso il Pontificio collegio irlandese.
Ministero sacerdotale
Rientrato in patria, è stato nominato vicario parrocchiale nella parrocchia di Tullamore e nel 1989 ha iniziato a tenere lezioni di teologia morale al St Patrick's College di Maynooth; nel 1990 il consiglio di dirigenza del medesimo istituto lo ha nominato assistente esecutivo del presidente del collegio e membro della Facoltà di teologia, ricoprendo anche la carica di direttore del programma annuale di scienze religiose. Nel 1993 è stato promosso vicepresidente del collegio e, dopo la morte improvvisa di Matthew O'Donnell, nel 1996 è stato nominato presidente dello stesso e del seminario nazionale; quando il collegio ed il seminario sono stati separati in base a quanto stabilito dallo Universities Act 1997, egli ne è comunque rimasto a capo. Farrell ha presieduto la revisione del programma di formazione Pastores Dabo Vobis del collegio, curando inoltre la ristrutturazione dei suoi edifici storici. Nel 1998 è divenuto membro dell'Ordine equestre del Santo Sepolcro di Gerusalemme.
Nel 2002, in seguito ai resoconti dei media sulle dimissioni dell'ex presidente Micheál Ledwith nel 1994, Farrell ha reso pubbliche le circostanze dell'allontanamento di Ledwith: era stato accusato di abusi sessuali su un minore e aveva raggiunto un accordo finanziario confidenziale con il suo accusatore[1].
Nel 2006Charles E. Curran, controverso teologostatunitense, è stato invitato a parlare ad una conferenza che stava sponsorizzando e Farrell ha affermato di non essere stato consultato o informato dell'invito[2].
Durante il suo sacerdozio ha fatto anche parte di vari consigli e comitati, tra cui il consiglio di amministrazione di Allianz plc, dell'organo direttivo della National University of Ireland a Maynooth, del Dipartimento teologico della Irish Inter-Church Committee; è stato inoltre direttore nazionale del diaconato permanente ed è attualmente presidente di Veritas Communications.
Lo stesso anno è stato promosso al ruolo di grande ufficiale dell'Ordine equestre del Santo Sepolcro di Gerusalemme ed è divenuto membro di diritto del comitato permanente della Conferenza episcopale irlandese, divenendone segretario finanziario nel marzo 2019.