In matematica la definizione di derivata trova l'ambientazione più naturale nel campo complesso,^[1] dove l'operazione di derivazione viene detta derivazione complessa.

La derivata di una funzione di variabile complessa è definita grazie all'esistenza di una struttura di campo topologico sui numeri complessi. I risultati che si possono ottenere con la definizione di derivata nel campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sono più interessanti rispetto al caso di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (dove si ha la definizione più semplice di derivazione): si vedano ad esempio la formula integrale di Cauchy e il teorema di Liouville.

Detto ${\displaystyle U}$ un sottoinsieme aperto del piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$, una funzione complessa ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ è derivabile in senso complesso in un punto ${\displaystyle z_{0}\in U}$ se esiste il limite:^[2]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

Tale limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a ${\displaystyle z_{0}}$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con ${\displaystyle f'(z_{0})}$. Se ${\displaystyle f}$ è derivabile in senso complesso in ogni punto ${\displaystyle z_{0}\in U}$ essa è una funzione olomorfa su ${\displaystyle U}$.

Chiamando ${\displaystyle \Delta f=f(z+\Delta z)-f(z)}$ l'incremento della funzione ${\displaystyle f}$ corrispondente all'incremento della variabile indipendente ${\displaystyle \Delta z}$ si ha:

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!z}}}$

Vale il teorema secondo cui l'esistenza della derivata di una funzione in un punto implica la continuità della funzione in quel punto, ma non è vero il contrario.

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione olomorfa.

Una funzione ${\displaystyle f(z)}$ è differenziabile in ${\displaystyle z_{0}}$ se è derivabile e:

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})-f'(z_{0})\Delta z}{\Delta z}}=0}$

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:

${\displaystyle f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$

è olomorfa allora ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ possiedono derivata parziale prima rispetto a ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger ${\displaystyle \partial f/\partial {\overline {z}}}$ di ${\displaystyle f}$ rispetto al complesso coniugato ${\displaystyle {\overline {z}}}$ di ${\displaystyle z}$ è nulla.

Lo stesso argomento in dettaglio: Regole di derivazione.

Sfruttando la definizione si dimostra che valgono tutte le regole di derivazione che caratterizzano la derivata di funzioni reali. Innanzitutto:

${\displaystyle {\frac {dc}{dz}}=0\qquad {\frac {dz}{dz}}=1\qquad {\frac {dz^{n}}{dz}}=n\cdot z^{n-1}}$

Inoltre, la derivata complessa è lineare:

${\displaystyle {\frac {d\left(c\cdot f(z)\right)}{dz}}=c\cdot f'(z)\qquad {\frac {d\left(f(z)+g(z)\right)}{dz}}=f'(z)+g'(z)}$

e valgono la regola del prodotto:

${\displaystyle {\frac {d\left(f(z)\cdot g(z)\right)}{dz}}=f(z)\cdot g'(z)+f'(z)\cdot g(z)}$

e del rapporto:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\cdot \left({\frac {f(z)}{g(z)}}\right)={\frac {f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)}{(g(z))^{2}}}}$

Se inoltre ${\displaystyle h(z)=g\left(f(z)\right)}$, si ha la regola della catena:

${\displaystyle h'(z_{0})=g'\left(f(z_{0})\right)\cdot f'(z_{0})}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Cauchy-Riemann.

Le funzioni olomorfe definite su un aperto sono funzioni analitiche o regolari. Si tratta quindi di funzioni complesse definite in un insieme aperto ${\displaystyle A}$ per le quali esiste la derivata, continua, in ogni punto di questo insieme e le derivate parziali soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann.

Supposto che esista la derivata di una funzione nel punto ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ allora le derivate parziali del primo ordine di ${\displaystyle f(z_{0})=u(x_{0},y_{0})+i\cdot v(x_{0},y_{0})}$ esistono, sono differenziabili e verificano le equazioni di Cauchy-Riemann.

Per dimostrare che esistono le derivate parziali della funzione, e che la parte reale ed immaginaria convergono rispettivamente alla parte reale ed immaginaria del limite (e che soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann), si sviluppa la definizione di derivata di una funzione complessa nella sua parte reale ed immaginaria nell'intorno del punto ${\displaystyle z_{0}=(x_{0}+iy_{0})}$, da cui otterremo le due relazioni fondamentali note come equazioni di Cauchy-Riemann:

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}$

dove il rapporto si può scrivere:

${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x+i\Delta y}}+i\cdot {\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x+i\Delta y}}}$

Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo orizzontalmente come ${\displaystyle (\Delta x,0)\to (0,0)}$, si ottiene:

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+i\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=}$

${\displaystyle ={\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial x}}+i\cdot {\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial x}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+i\cdot v_{x}(x_{0},y_{0})}$

Facendo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo verticalmente come ${\displaystyle (0,\Delta y)\to (0,0)}$, si ottiene:

${\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {u(x_{0},y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+i\cdot \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {v(x_{0},y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=}$

${\displaystyle =-i\cdot {\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial y}}+{\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=-i\cdot u_{y}(x_{0},y_{0})+v_{y}(x_{0},y_{0})}$

In questo modo si vede che uguagliando parti reali e parti immaginarie dalle equazioni precedenti, cosa permessaci dall'ipotesi di olomorfia sulla funzione, si ottengono le equazioni di Cauchy-Riemann:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{x}(x_{0},y_{0})=v_{y}(x_{0},y_{0})\\u_{y}(x_{0},y_{0})=-v_{x}(x_{0},y_{0})\end{cases}}}$

Resta da dimostrare che ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono differenziabili. Dalla definizione di differenziabilità della funzione:

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})-f'(z_{0})\Delta z}{\Delta z}}=0}$

Questo limite afferma che per:

${\displaystyle |\Delta z|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\to 0}$

la differenza a numeratore tende a zero. Sviluppando in parte reale ed immaginaria questo equivale:

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta u+i\Delta v|}{|\Delta z|}}=}$

${\displaystyle =\lim _{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})-u_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x-u_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}+}$

${\displaystyle +i\cdot {\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})-v_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x-v_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}=0}$

Questo limite esiste se e solo se sia la parte reale che immaginaria tendono allo stesso limite, cioè è zero se e solo se:

${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta u|}{|\Delta z|}}=0\qquad \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {|\Delta v|}{|\Delta z|}}=0}$

dalle quali si vede che ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono differenziabili in ${\displaystyle z_{0}}$.

Si consideri la funzione ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$, definita in un intorno del punto ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$. Si supponga che esistano le derivate parziali: ${\displaystyle u_{x}(x_{0},y_{0})}$, ${\displaystyle u_{y}(x_{0},y_{0})}$, ${\displaystyle v_{x}(x_{0},y_{0})}$ e ${\displaystyle v_{y}(x_{0},y_{0})}$, siano continue e soddisfino le equazioni di Cauchy-Riemann. Allora ${\displaystyle f(z_{0})}$ è derivabile in questo punto.

Per mostrare che:

${\displaystyle f'(z)=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta \omega }{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\cdot \Delta v}{\Delta z}}}$

si può sviluppare questo limite nella parte reale e immaginaria e sfruttare la continuità delle derivate parziali:

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})\\\Delta v=v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})\end{cases}}}$

da cui:

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=u_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+u_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\varepsilon _{1}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\\\Delta v=v_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+v_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\varepsilon _{2}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle \varepsilon _{1}\to 0}$ e ${\displaystyle \varepsilon _{2}\to 0}$ per ${\displaystyle (\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}$.

Poiché per ipotesi valgono le equazioni di Cauchy-Riemann, si può scrivere il rapporto incrementale come:

${\displaystyle {\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta z}}={\frac {\Delta u+i\cdot \Delta v}{\Delta z}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+iv_{x}(x_{0},y_{0})+(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}){\frac {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}{\Delta z}}}$

Ma:

${\displaystyle {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=|\Delta z|}$

quindi l'ultima frazione al secondo membro è 1; mentre ${\displaystyle (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2})\to 0}$ per ${\displaystyle (\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}$. Per cui il limite del rapporto scritto sopra è la derivata.

Le forme con cui si può scrivere la derivata sono le seguenti:

${\displaystyle f'(z)={\begin{cases}u_{x}(x,y)+iv_{x}(x,y)\\v_{y}(x,y)-iu_{y}(x,y)\\u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)\\v_{y}(x,y)+iv_{x}(x,y)\end{cases}}}$

La ${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$ (coniugio) non è ${\displaystyle \mathbb {C} }$-derivabile: dovrebbe esistere il

${\displaystyle \lim _{u\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}+u}}-{\overline {z_{0}}}}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}}}+{\overline {u}}-{\overline {z_{0}}}}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {\overline {u}}{u}}=\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {h-ik}{h+ik}}}$

Se questo limite esistesse, lungo l'asse ${\displaystyle x}$ dovrebbe essere:

${\displaystyle \lim _{{h+ik\rightarrow 0} \atop {k=0}}{\frac {h-ik}{h+ik}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=1}$

mentre lungo l'asse ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \lim _{{h+ik\rightarrow 0} \atop {h=0}}{\frac {h-ik}{h+ik}}=\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {-ik}{ik}}=-1}$

dunque la ${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$ non è derivabile.

La ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ è invece derivabile. Si ha:

${\displaystyle \lim _{u\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {(z_{0}+u)^{2}-{z_{0}}^{2}}{u}}=\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {((x_{0}+h)+i(y_{0}+k))^{2}-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=}$

${\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {((x_{0}+iy_{0})+(h+ik))^{2}-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=}$

${\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {(x_{0}+iy_{0})^{2}+(h+ik)^{2}+2(x_{0}+iy_{0})(h+ik)-(x_{0}+iy_{0})^{2}}{h+ik}}=}$

${\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}{\frac {(h+ik)^{2}+2(x_{0}+iy_{0})(h+ik)}{h+ik}}=}$

${\displaystyle =\lim _{h+ik\rightarrow 0}(h+ik)+2(x_{0}+iy_{0})=2(x_{0}+iy_{0})=2z_{0}=f'_{z}(z_{0})}$

e questo limite è lo stesso lungo ogni restrizione.

• (EN) Shilov, G. E. Elementary Real and Complex Analysis. New York: Dover, p. 379, 1996.
• (EN) Krantz, S. G. "The Complex Derivative." §1.3.5 and 2.2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 15-16 and 24, 1999.

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