Teorema di Liouville (analisi complessa)

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Liouville è un teorema riguardante una proprietà caratteristica delle funzioni intere. Stabilisce che, detta ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ una funzione intera, se esiste ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ per ogni ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, ovvero se ${\displaystyle f}$ è limitata, allora ${\displaystyle f}$ è costante.

Il teorema di Liouville può essere rafforzato dal piccolo teorema di Picard che afferma che l'immagine di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ attraverso una funzione intera non costante è o tutto il piano complesso o il piano complesso privato di un punto. Permette inoltre di ottenere una semplice dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

Dimostrazione

Dato che ${\displaystyle f}$ è intera si potrà scrivere un suo sviluppo attorno all'origine:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

Per i coefficienti, valgono le seguenti relazioni ricavabili tramite il teorema integrale di Cauchy e la formula di Cauchy:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{\xi ^{n+1}}}d\xi }$

dove ${\displaystyle C_{R}}$ è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio ${\displaystyle R}$, abbastanza grande da contenere ${\displaystyle z}$.

Applicando il lemma di Darboux si ottiene la seguente disuguaglianza:

${\displaystyle |a_{n}|={\bigg |}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{\xi ^{n+1}}}d\xi {\bigg |}\leq {\frac {1}{2\pi R^{n+1}}}\max _{C_{R}}|f|(2\pi R)={\frac {1}{R^{n}}}\max _{C_{R}}|f|}$

Se si impone adesso che il modulo di ${\displaystyle f}$ sia limitato dal numero positivo ${\displaystyle M}$, si vede che per tutti gli ${\displaystyle n}$ naturali diversi da 0, la quantità ${\displaystyle M/{R^{n}}}$ e di conseguenza ${\displaystyle a_{n}}$ tende a 0 se ${\displaystyle R}$ tende all'infinito. Di conseguenza ${\displaystyle a_{n}=0}$ per ogni ${\displaystyle n\neq 0}$, che è la tesi.

Estensione

Un'estensione del teorema si può operare indebolendo le ipotesi, ossia richiedendo non che la funzione sia limitata, ma che essa abbia valori in un semipiano.

Sia ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ una funzione intera. Se ${\displaystyle f(\mathbb {C} )}$ è contenuta in un semipiano, allora ${\displaystyle f}$ è costante.

Infatti, senza ledere la generalità si può supporre che il semipiano sia il semipiano individuato dai numeri complessi avente parte reale positiva. Detta ${\displaystyle u}$ la parte reale di ${\displaystyle f}$, risulta quindi che ${\displaystyle u}$ è armonica (poiché parte reale di una funzione olomorfa) e positiva, quindi ${\displaystyle u}$ è costante. Dalle relazioni di Cauchy-Riemann si ha anche che ${\displaystyle f}$ è costante.

Bibliografia

• (EN) V.S. Vladimirov, Methods of the theory of functions of several complex variables , M.I.T. (1966)
• (FR) G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie , Bachelier (1850) pp. 609–616
• (RU) A.V. Bitsadze, Fundamentals of the theory of analytic functions of a complex variable , Moscow (1972)

Voci correlate

• Formula integrale di Cauchy
• Funzione intera
• Integrazione complessa
• Teorema di Picard
• Teorema integrale di Cauchy

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Liouville, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Teorema di Liouville, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.