Densità spettrale di potenza

In teoria dei segnali, dato un generico segnale di potenza ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {C} ^{1}}$ con trasformata di Fourier ${\displaystyle X(f)}$ e valore di potenza ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\ }$, si definisce densità spettrale di potenza (o anche spettro bilaterale di densità di potenza) la seguente funzione della frequenza ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}(f):=\lim _{T\to +\infty }\left({\frac {|X_{T}(f)|^{2}}{T}}\right),\quad \forall f\quad }$

dove ${\displaystyle X_{T}(f):={\mathcal {F}}\{x_{T}(t)\}}$ è la Trasformata di Fourier del segnale:

${\displaystyle x_{T}(t):=x(t)rect\left({\frac {t}{T}}\right)\equiv {\begin{cases}x(t),&{\mbox{se }}0\leq |t|\leq T/2\\0,&{\mbox{se }}|t|>T/2\end{cases}}}$

Si osservi che ciò vale solo se ${\displaystyle x(t)}$ è un segnale di potenza; se il segnale fosse di energia, avrebbe senso ricercare invece la densità spettrale di energia.

È possibile calcolare la potenza del segnale ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}}$ valutando l'area sottesa dalla funzione ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}(f)}$ per tutte le frequenze dello spettro elettromagnetico, ovvero calcolando:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{x}(f)df\quad }$

Proprietà

• È una funzione a valori reali e non negativi della frequenza ${\displaystyle f}$, ovvero ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}(f)\in \mathbb {R} ^{1}\geq 0,\quad \forall f}$ ;
• Quando ${\displaystyle x(t)}$ è a valori reali allora ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}(f)}$ è una funzione pari, cioè ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}(-f)={\mathcal {P}}_{x}(f),\quad \forall f\geq 0,\quad (x(t)\in \mathbb {R} ^{1})}$;
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}(f)}$ è ottenibile tramite il Teorema di Wiener-Chinčin una volta nota la funzione di autocorrelazione ${\displaystyle p_{xx}(t)}$, in particolare ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}(f):={\mathcal {F}}\{p_{xx}(t)\}}$.

Voci correlate

• Densità spettrale di energia