Costante di Catalan

Costante di Catalan
Simbolo	K
Valore	0,9159655941772190150546... (sequenza A006752 dell'OEIS)
Origine del nome	Eugène Charles Catalan
Frazione continua	[0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, ...] (sequenza A014538 dell'OEIS)
Campo	numeri reali

In matematica, la costante di Catalan appare occasionalmente nelle stime in combinatorica ed è definita come

${\displaystyle \mathrm {K} =\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+...,}$

dove β è la funzione beta di Dirichlet. Il suo valore numerico approssimato è

K = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ...

Non è noto se K sia un numero razionale o irrazionale.

Prende il nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan.

Identità integrali

Alcune identità sono:

${\displaystyle K=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy}$

${\displaystyle K=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}{\mbox{ d}}t}$

${\displaystyle K=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt}$

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt}$

${\displaystyle K=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt}$

${\displaystyle K=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt}$

${\displaystyle K=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}dt}$

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (t)\,dt}$

dove K(t) è un integrale ellittico completo della prima specie.

Utilità

K appare in combinatoria e come valore della seconda funzione poligamma, detta anche funzione trigamma, per argomenti frazionari:

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8K}$

Simon Plouffe ha fornito un insieme infinito di identità tra la funzione trigamma, ${\displaystyle \pi ^{2}}$ e la costante di Catalan; queste identità sono esprimibili come percorsi su un grafo.

Appare inoltre in riferimento alla distribuzione secante iperbolica.

Bibliografia

• (EN) Victor Adamchik, 33 rappresentazioni per la costante di Catalan' Archiviato il 24 giugno 2009 in Internet Archive. (non aggiornato)
• (EN) Victor Adamchik, Serie associate con la costante di Catalan Archiviato il 17 marzo 2010 in Internet Archive., (2002) Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA), 21, pp.1-10.
• (EN) Simon Plouffe, Alcune identità (III) con la costante di Catalan Archiviato il 20 aprile 2009 in Internet Archive., (1993) (Provides over one hundred different identities).
• (EN) Simon Plouffe, Alcune identità con la costante di Catalan e Pi^2 Archiviato il 21 aprile 2009 in Internet Archive., (1999) (Offre un'interpretazione grafica della relazione)
• (EN) Greg Fee, Costante di Catalan (formula di Ramanujan) (1996) (Fornisce le prime 300,000 cifre della costante di Catalan.).

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Catalan's Constant, su MathWorld, Wolfram Research.