Connessione di Levi CivitaIn geometria differenziale, la connessione di Levi-Civita è, su una varietà riemanniana, l'unica connessione senza torsione che preserva la metrica. Il suo nome è dovuto a Tullio Levi-Civita[1]. Grazie alla connessione di Levi-Civita, il tensore metrico della varietà riemanniana risulta essere quindi ingrediente sufficiente per definire univocamente concetti più elaborati come derivata covariante, geodetica, trasporto parallelo. DefinizioneSia una varietà riemanniana. Una connessione è di Levi-Civita se valgono le proprietà seguenti[2]:
Ovvero, equivalentemente Entrambe le proprietà possono essere espresse usando la notazione con indici. Una connessione è di Levi-Civita se in ogni carta valgono le proprietà seguenti:
ProprietàEsistenza e unicitàIl seguente fatto è un risultato fondamentale della geometria riemanniana. Una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana ha un'unica connessione di Levi-Civita. La dimostrazione di questo fatto può essere svolta nel modo seguente. I simboli di Christoffel definiscono il termine da aggiungere in una carta alla usuale derivata parziale per ottenere la derivata covariante. Per ogni connessione e in ogni carta vale quindi la relazione Supponiamo che la connessione sia di Levi-Civita. Questa quantità è quindi zero, perché si richiede che la derivata covariante della metrica sia nulla. Permutando i tre indici in modo ciclico si ottengono tre uguaglianze. Sottraendo le ultime due uguaglianze dalla prima, e usando la simmetria dei simboli di Christoffel (la torsione è nulla) si ottiene: Il simbolo di Christoffel può essere esplicitato moltiplicando questa relazione per . Il risultato è Questo dimostra l'unicità della connessione. D'altra parte, questa uguaglianza può essere usata per definire una connessione di Levi-Civita: è sufficiente verificare che una tale definizione fornisca effettivamente una connessione, e cioè che i simboli così definiti cambino al mutare delle coordinate come i simboli di Christoffel. Innalzamento e abbassamento degli indiciUna connessione di Levi-Civita ha delle buone proprietà rispetto all'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici, effettuata tramite contrazione con il tensore metrico o il suo inverso. Innanzitutto, anche il tensore metrico inverso ha derivata covariante nulla: Perciò la derivata covariante commuta con l'innalzamento o abbassamento degli indici. Ad esempio, se è un campo vettoriale: Note
Bibliografia
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