Colorazione del dominio

Colorazione del dominio della funzione ${\displaystyle f(x)={\tfrac {(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}}{x^{2}+2+2i}}}$

La colorazione del dominio è una tecnica per la visualizzazione grafica di una funzione di variabile complessa. L'espressione "colorazione del dominio" (domain coloring nell'originale in lingua inglese) è stata coniata da Frank Farris intorno al 1998.[1][2] In precedenza sono stati fatti diversi usi del colore per visualizzare le funzioni complesse, solitamente mappando la fase dell'argomento alla tonalità.[3] La tecnica dell'utilizzo di colori continui per mappare punti dal dominio al codominio o al piano delle immagini è stata usata nel 1999 da George Abdo and Paul Godfrey[4] e griglie di colori sono state usate da Douglas Arnold nel 1997.[5]

Motivazione

Una funzione reale ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow {}\mathbb {R} }$ ha sia il dominio sia il codominio contenuti in spazi a una dimensione reale, quindi può essere rappresentata con un grafico a due dimensioni su un piano cartesiano. Il grafico di una funzione di variabile complessa a valori complessi ${\displaystyle g:\mathbb {C} \rightarrow {}\mathbb {C} }$ appartiene ad uno spazio a due dimensioni complesse, ciascuna delle quali è rappresentata da un piano reale (spazio di dimensione due), quindi il grafico è un oggetto che ha quattro dimensioni reali. Questo fatto rende difficile rappresentarlo in uno spazio tridimensionale. Per le funzioni olomorfe è possibile rappresentare la funzione con una superficie di Riemann.

Dato un numero complesso ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, la fase ${\displaystyle \theta }$ può essere rappresentata dalla tonalità del colore e il modulo ${\displaystyle r=|z|}$ dall'intensità o dalla variazione di intensità dello stesso. La scelta della tonalità è arbitraria, ma solitamente segue il cerchio cromatico.

Esempio

L'immagine seguente raffigura la funzione seno complessa ${\displaystyle w=\sin(z)}$ nella porzione di piano compresa tra ${\displaystyle -2\pi }$ e ${\displaystyle 2\pi }$ sull'asse reale e tra ${\displaystyle -1.5}$ e ${\displaystyle 1.5}$ sull'asse immaginario.

Note

1. Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane
2. Hans Lundmark, Visualizing complex analytic functions using domain coloring, su mai.liu.se, 2004. URL consultato il 25 maggio 2006 (archiviato dall'url originale il 2 maggio 2006). Ludmark riferisce che Farris ha coniato il termine nel suo articolo del 2004.
3. David A. Rabenhorst, A Color Gallery of Complex Functions, in Pixel: the magazine of scientific visualization, vol. 1, n. 4, Pixel Communications, 1990, pp. 42 et seq.
4. George Abdo & Paul Godfrey, Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring, su my.fit.edu, 1999. URL consultato il 17 maggio 2008 (archiviato dall'url originale il 16 marzo 2020).
5. Douglas N. Arnold, Graphics for complex analysis, su ima.umn.edu, 2008. URL consultato il 17 maggio 2008.

Voci correlate

• Numero complesso
• Funzione di variabile complessa
• Analisi complessa
• Mappe conformi
• Funzioni olomorfe
• Immagini conformi

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su colorazione del dominio

Collegamenti esterni

• (EN) Color Graphs of Complex Functions, su w.american.edu. URL consultato il 17 marzo 2017 (archiviato dall'url originale l'11 maggio 2012).
• (EN) Visualizing complex-valued functions in the plane., su maa.org.
• (EN) Gallery of Complex Functions, su cs.berkeley.edu.
• (EN) Complex Mapper - Complex Mapper - Alessandro Rosa
• (EN) John Davis software - S-Lang script for Domain Coloring
• (EN) Enhanced 3D Domain coloring, su hansfbaier.de. URL consultato il 21 settembre 2014 (archiviato dall'url originale il 3 marzo 2016).
• (EN) Domain Coloring Method on GPU, su codeproject.com.
• (EN) implementazione in MATLAB
• (EN) Script Python per GIMP, su analysis.uni-hannover.de. URL consultato il 10 dicembre 2012 (archiviato dall'url originale il 10 dicembre 2012).
• (EN) Implementazione Matplotlib e MayaVi della colorazione del dominio