Arcotangente

In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all'intervallo ${\displaystyle \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\subset \mathbb {R} .}$[1]

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di ${\displaystyle x}$ è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è ${\displaystyle x}$. È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilità della funzione.

Notazione

La notazione matematica dell'arcotangente è ${\displaystyle \arctan }$ o ${\displaystyle {\rm {arctg}}}$; è comune anche la scrittura ${\displaystyle \tan ^{-1}}$. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà

Grafico della funzione y=arctan(x)

• L'arcotangente è una funzione definita sull'insieme dei numeri reali:[2]

${\displaystyle \arctan :\mathbb {R} \rightarrow \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right).}$

• La sua immagine è l'intervallo:

${\displaystyle \arctan(\mathbb {R} )=\left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\subset \mathbb {R} .}$

• Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\arctan(x)=-{\pi \over 2},}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\arctan(x)={\pi \over 2}.}$

• La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} :x_{1}<x_{2}\Rightarrow \arctan(x_{1})<\arctan(x_{2}).}$

• È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):

${\displaystyle \arctan(x)=-\arctan(-x)\qquad {\text{o equivalentemente}}\qquad \arctan(-x)=-\arctan(x),}$

ed è di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine:[3]

${\displaystyle \forall \,x_{0}\in \mathbb {R} ,\forall n\in \mathbb {N} \quad \exists \;\lim _{x\to x_{0}}\arctan ^{(n)}(x)=\arctan ^{(n)}(x_{0})}$

${\displaystyle \arctan '(x)={1 \over 1+x^{2}},}$

${\displaystyle \arctan ''(x)={-2x \over \left(1+x^{2}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \arctan ^{(3)}(x)={6x^{2}-2 \over \left(1+x^{2}\right)^{3}},}$

${\displaystyle \arctan ^{(4)}(x)={-24x^{3}+24x \over \left(1+x^{2}\right)^{4}},}$

${\displaystyle \cdots }$

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è:[4]

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{x^{2k+1} \over 2k+1}=x-{x^{3} \over 3}+{x^{5} \over 5}-{x^{7} \over 7}+\cdots }$

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se ${\displaystyle \vert x\vert \leq 1.}$

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

${\displaystyle \arctan \left(x_{1}\right)\pm \arctan \left(x_{2}\right)={\begin{cases}Y&\pm x_{1}x_{2}<1\\{\rm {segno}}\left(x_{1}\right)\,{\displaystyle \,\pi \; \over 2}\qquad &\pm x_{1}x_{2}=1\\Y+{\rm {segno}}\left(x_{1}\right)\,\pi &\pm x_{1}x_{2}>1\\\end{cases}}}$

nelle quali

${\displaystyle Y=\arctan \left({x_{1}\pm x_{2} \over 1\mp x_{1}x_{2}}\right).}$

Si ha inoltre che, per ${\displaystyle x>0}$:

${\displaystyle \arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}.}$

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle 1}$. L'angolo opposto al cateto di lunghezza ${\displaystyle x}$ avrà ampiezza pari a ${\displaystyle \arctan(x)}$, mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza ${\displaystyle 1}$ avrà ampiezza pari a ${\displaystyle \arctan \left({1 \over x}\right)}$. Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:

${\displaystyle \arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)+{\pi \over 2}=\pi ,}$

e quindi si giunge a:

${\displaystyle \arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}.}$

Applicazioni

• In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il suo cateto opposto e il cateto adiacente[5].
• Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco. Queste formule sono conosciute come formule di tipo Machin.

Note

1. Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.187
2. Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp.188-189
3. Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 219
4. Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239
5. Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp. 376-377

Bibliografia

• Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

Voci correlate

• Tangente (matematica)
• Arcotangente2

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Collegamenti esterni

• arcotangente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arctàn, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• arcotangènte, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arcotangènte, su sapere.it, De Agostini.
• arcotangente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, inverse tangent, su MathWorld, Wolfram Research.