24-celle

24-celle
Diagramma di Schlegel del policoro
Tipo	Policoro regolare
Forma celle	Ottaedri regolari
Nº celle	24 ottaedri regolari
Nº facce	96 triangoli equilateri
Nº spigoli	96
Nº vertici	24
Cuspidi dei vertici	(cubo)
Simbolo di Schläfli	{3,4,3}
Duale	24-celle (è autoduale)
Proprietà	convesso, regolare

In geometria, quadridimensionale il 24–celle è uno dei sei politopi regolari ordinari.

Descrizione

Un 24-celle è l'inviluppo convesso di 24 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. I punti sono i seguenti:

• 8 punti del tipo

  ${\displaystyle (\pm 1,0,0,0),(0,\pm 1,0,0),(0,0,\pm 1,0),(0,0,0,\pm 1),}$

• 16 punti del tipo

  ${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right).}$

I primi 8 sono i vertici di un esadecacoro, mentre gli ultimi 16 sono i vertici di un ipercubo. Un insieme analogo di vertici in dimensione 3 determina il dodecaedro rombico, che non è però regolare.

Dualità

Il 24-celle è autoduale. Gli unici politopi regolari autoduali (in ogni dimensione) sono il simplesso (che esiste in ogni dimensione: triangolo equilatero, tetraedro, ipertetraedro, etc.) e il 24-celle, che esiste solo in dimensione 4.

Relazione di Eulero

Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

${\displaystyle V+F=S+C.}$

In questo caso 24 + 96 = 96 + 24.

Bibliografia

• Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
• Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
• Luigi Berzolari & G.Vivanti & D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1929, 1937, 1950, SBN LO10326681.

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