Theorema egregium

A Theorema Egregium (magyarul: „Nevezetes Tétel”) a differenciálgeometria fontos tétele, amely kimondja, hogy egy felület Gauss-görbülete csak a felület első alapmennyiségeitől függ. Más szavakkal: a felület Gauss-görbületét meghatározza a felület metrikája (azaz, hogy a felületen hogyan mérünk szöget illetve távolságot), és ez független a felület térbeli alakjától (amit a második alapmennyiségek írnak le). Ez messze nem nyilvánvaló, hiszen a felület főnormálgörbületei függenek a második alapmennyiségektől. Mivel az első alapmennyiségek izometriával szemben invariánsak, ezért a tétel értelmében a Gauss-görbület is.

Bizonyítás

A Theorema Egregiumot először Carl Friedrich Gauss bizonyította. Az alább közölt bizonyítás Szőkefalvi-Nagy Gyula könyvében található. Legyen a felület paraméterezése ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)}$. Ekkor a szokásos jelölésekkel a felület Gauss-görbülete:

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {ln-m^{2}}{EG-F^{2}}}}$

.

Ezek szerint elég lenne belátnunk, hogy az ${\displaystyle ln-m^{2}}$ mennyiség kifejezhető az ${\displaystyle E,F,G}$ függvényekkel és azok parciális deriváltjaival.

A Gauss-féle egyenletek szerint:

${\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}=\Gamma _{11}^{1}\mathbf {r} '_{u}+\Gamma _{11}^{2}\mathbf {r} '_{v}+l\mathbf {N} }$

${\displaystyle ~}$

${\displaystyle \mathbf {r} ''_{uv}=\mathbf {r} ''_{vu}=\Gamma _{12}^{1}\mathbf {r} '_{u}+\Gamma _{12}^{2}\mathbf {r} '_{v}+m\mathbf {N} }$

${\displaystyle ~}$

${\displaystyle \mathbf {r} ''_{vv}=\Gamma _{22}^{1}\mathbf {r} '_{u}+\Gamma _{22}^{2}\mathbf {r} '_{v}+n\mathbf {N} ,}$

ahol a ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ együtthatók a Christoffel-szimbólumok, ${\displaystyle \mathbf {N} }$ pedig a felület normálvektora.

Ebből

${\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} ''_{vv}-(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}=ln-m^{2}+{\mathcal {R}}_{1},}$

ahol ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, hiszen a Christoffel-szimbólumok is csak ezektől függenek. Most fejezzük ki az ${\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} ''_{vv}-(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}}$ mennyiséget ${\displaystyle E,F,G}$ parciális deriváltjaival. Az első alapmennyiségeket definiáló egyenleteket deriválva kapjuk:

${\displaystyle E''_{vv}=2\mathbf {r} '''_{uvv}\mathbf {r} '_{u}+2(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}}$

${\displaystyle ~}$

${\displaystyle F''_{uv}=\mathbf {r} '''_{uuv}\mathbf {r} '_{v}+\mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} ''_{vv}+\mathbf {r} '_{u}\mathbf {r} '''_{uvv}+(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}}$

${\displaystyle ~}$

${\displaystyle G''_{uu}=2\mathbf {r} '''_{uuv}\mathbf {r} '_{v}+2(\mathbf {r} ''_{uv})^{2}}$

Ebből

${\displaystyle \mathbf {r} ''_{uu}\mathbf {r} _{vv}-(\mathbf {r} _{uv})^{2}=F''_{uv}-{\frac {1}{2}}(E''_{vv}-G''_{uu})=:{\mathcal {R}}_{2}}$

Ezt összevetve az előbbi eredményünkkel, kapjuk, hogy

${\displaystyle ln-m^{2}={\mathcal {R}}_{2}-{\mathcal {R}}_{1}}$

Mivel ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ és ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$ csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, ezért ${\displaystyle ln-m^{2}}$ is. Ezt akartuk belátni.

Egyszerű alkalmazások

Egy R sugarú gömbfelület és egy sík Gauss-görbülete is állandó, ${\displaystyle R^{-2}}$ illetve ${\displaystyle 0}$. Így a tétel szerint a két felület nem képezhető izometrikusan (torzításmentesen) egymásra. Ennek nyilvánvaló a térképészeti jelentősége: nem lehet torzításmentes térképet készíteni.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Theorema Egregium című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, ISBN 963-10-2925-5