Szeszkvilineáris forma

Egy szeszkvilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz hozzárendel egy skalárt, úgy, hogy az egyik változójában lineáris, a másikban szemilineáris. Az elnevezés a latin sesqui szóból származik, melynek jelentése másfél. Egy klasszikus példa a ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ komplex standard skalárszorzat:

${\displaystyle f((v_{1},\ldots ,v_{n}),(w_{1},\ldots ,w_{n}))={\overline {v}}_{1}w_{1}+\ldots +{\overline {v}}_{n}w_{n}}$

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti.

A két argumentum származhat két különböző ${\displaystyle V,W}$ vektortérből, azonban ezeknek egy közös ${\displaystyle K}$ test fölöttinek kell lenniük. Egy ${\displaystyle f\colon V\times W\to K}$ szeszkvilineáris forma lineáris forma az egyik, és szemilineáris a másik argumentumban. Két konvenció él, melyek nem értenek egyet abban, hogy melyik argumentum a lineáris, és melyik a szemilineáris. A fizikában mindig az első argumentum szemilineáris.

Valós számok fölött a szeszkvilineáris forma egybeesik a bilineáris formával.

Definíció

Legyenek ${\displaystyle V,W}$ komplex vektorterek. Egy ${\displaystyle S\colon V\times W\to \mathbb {C} ,\quad (v,w)\mapsto S(v,w)=\langle v,w\rangle }$ leképezés szeszkvilineáris forma, ha szemilineáris az első argumentumában, és lineáris a másodikban, vagyis

• ${\displaystyle \langle v_{1}+v_{2},w\rangle =\langle v_{1},w\rangle +\langle v_{2},w\rangle }$
• ${\displaystyle \langle \lambda v,w\rangle ={\overline {\lambda }}\;\langle v,w\rangle ;}$

és

• ${\displaystyle \langle v,w_{1}+w_{2}\rangle =\langle v,w_{1}\rangle +\langle v,w_{2}\rangle }$
• ${\displaystyle \langle v,\lambda w\rangle =\lambda \,\langle v,w\rangle .}$

ahol ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$, ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$ és ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$.

Néha ehelyett az első argumentumban írnak elő linearitást és a másikban szemilinearitást, ez a megkülönböztetés azonban csak formális jellegű.

Ez a definíció kiterjeszthető más testekre és modulusokra is, amennyiben az adott test vagy gyűrű bír egy kitüntetett ${\displaystyle \lambda \mapsto {\overline {\lambda }}}$ automorfizmussal vagy endomorfizmussal. Pozitív karakterisztikájú testekben ez a Frobenius-homomorfizmus.

A konstans nulla leképezés ${\displaystyle S=0}$ szeszkvilineáris forma. Szeszkvilineáris formák pontonkénti összege és pontonkénti skalárszorosa szintén szeszkvilineáris forma. Így a szeszkvilineáris formák komplex vektorteret alkotnak.

Hermitikus szeszkvilineáris forma

Egy ${\displaystyle S\colon V\times V\to \mathbb {C} }$ szeszkvilineáris forma hermitikus, ha

${\displaystyle S(v,w)={\overline {S(w,v)}}}$

Ez a definíció analóg a szimmetrikus bilineáris formához. Az elnevezés Charles Hermite nevét őrzi.

Példák

Egy komplex vektortérben egy bázis szerinti standard skalárszorzat hermitikus szeszkvilineáris forma. Lásd még: Klein-tér.

Polarizáció

Állítás

Egy fontos képlet a polarizációs formula:

${\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot S(y,x)&=\sum _{k=0}^{3}\mathrm {i} ^{k}S(x+\mathrm {i} ^{k}y,x+\mathrm {i} ^{k}y)\\&=S(x+y,x+y)+\mathrm {i} S(x+\mathrm {i} y,x+\mathrm {i} y)-S(x-y,x-y)-\mathrm {i} S(x-\mathrm {i} y,x-\mathrm {i} y),\end{aligned}}}$

ami azt mutatja, hogy egy szeszkvilineáris formát meghatározza az átlója, vagyis az ${\displaystyle \langle \xi ,\xi \rangle }$ értékei. Ez csak a szeszkvilineáris formára vonatkozik, bilineáris formákra nem igaz.

Speciális eset

A polarizációs formula közvetlen következménye, hogy ${\displaystyle S}$ pontosan akkor tűnik el, hogyha ${\displaystyle S(x,x)=0}$ minden ${\displaystyle x}$-re.

Másként, ha ${\displaystyle S(x,y),T(x,y)}$ szeszkvilineáris formák, és ${\displaystyle S(x,x)=T(x,x)}$ minden ${\displaystyle x}$-re, akkor ${\displaystyle (S-T)(x,x)=0}$, azaz ${\displaystyle S=T}$.

Ellenpélda

Bilineáris esetben a polarizációs formula nem teljesül. Ezt a következő példa mutatja: Legyen ${\displaystyle V=W\cong \mathbb {R} ^{2}}$, és legyen :${\displaystyle S(x,y):=x^{T}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}y=-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}$. ${\displaystyle S}$ nyilván bilineáris, és ${\displaystyle S(x,x)=-x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}=0}$ minden ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$-re. Másrészt ${\displaystyle S((1,0),(0,1))=1}$.

Következmény

Legyen ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ Hilbert-tér, és legyen ${\displaystyle T}$ korlátos lineáris operátor. Ekkor ${\displaystyle S(x,y):=\langle Tx,y\rangle }$ korlátos szeszkvilineáris forma, ahol a korlátosság azt jelenti, hogy ${\displaystyle |S(x,y)|\leq C\|x\|\cdot \|y\|}$ (itt ${\displaystyle C=\|T\|}$). Másrészt a Fréchet–Riesz reprezentációs tételből következően minden korlátos szeszkvilineáris forma meghatároz egy korlátos ${\displaystyle T}$ operátort, úgy, hogy ${\displaystyle S(x,y)=\langle Tx,y\rangle }$ minden ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$-ra.

Speciálisan, ${\displaystyle S}$ pontosan akkor tűnik el, ha ${\displaystyle T}$ is eltűnik. Ha ugyanis ${\displaystyle S=0}$, akkor ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=S(x,Tx)=0}$ minden ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$-ra, tehát ${\displaystyle T=0}$. A megfordítás közvetlenül adódik ${\displaystyle S}$ definíciójából.

A polarizációs formulából az is adódik, hogy az operátor pontosan akkor nulla, ha ${\displaystyle \langle Tx,x\rangle =0}$ minden ${\displaystyle x}$-re. Ez azonban csak a komplex számok fölött igaz. Valós számok fölött még azt is ki kell kötni, hogy ${\displaystyle T}$ önadjungált.[1]

Általánosítás

A szeszkvilineáris forma modulusokra is kiterjeszthető, amennyiben van a nem feltétlenül kommutatív alapgyűrűnek antiautomorfizmusa. Legyenek ${\displaystyle M,N}$ modulusok ugyanazon ${\displaystyle R}$ gyűrű fölött, és legyen ${\displaystyle \theta }$ antiautomorfizmus ${\displaystyle R}$-en! Ekkor egy ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times N\to R}$ leképezés ${\displaystyle \theta }$-szeszkvilineáris forma, ha testszőleges ${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$, ${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$ és ${\displaystyle \lambda \in R}$ esetén teljesülnek a következő feltételek:

• ${\displaystyle \langle m_{1}+m_{2},n\rangle =\langle m_{1},n\rangle +\langle m_{2},n\rangle }$
• ${\displaystyle \langle m,n_{1}+n_{2}\rangle =\langle m,n_{1}\rangle +\langle m,n_{2}\rangle }$
• ${\displaystyle \langle \lambda m,n\rangle =\lambda \langle m,n\rangle }$
• ${\displaystyle \langle m,\lambda n\rangle =\langle m,n\rangle \theta (\lambda )}$[2]

Forrás

• Siegfried Bosch. Lineare Algebra, 3., Heidelberg: Springer-Lehrbuch, 245–248. o. (2006) 

Jegyzetek

1. D. Werner: Funktionalanalysis 5., erweiterte Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-21381-3, Korollar V.5.8, 236. o.
2. Nicolas Bourbaki. Algèbre. Berlin: Springer, 10. o. (2007) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Sesquilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.