Sokszögszámok

A matematikában sokszögszámnak nevezzük az olyan természetes számokat, mely (kavicsok, pontok stb. segítségével kirakva) szabályos sokszög alakba rendezhető. A kétdimenziós figurális számok egyik fajtáját adják. A püthagoreusok vették észre, hogy a számokat kavicsokkal vagy magokkal szemléltetve azokat különféle módokon el tudják rendezni. A 10-es szám például háromszög alakba rendezhető (háromszögszámok):

A 10-et nem lehet négyzetszám alakba rendezni, a 9-et viszont igen:

Bizonyos számok, például a 36, négyzet és háromszög alakba is rendezhetők (háromszögű négyzetszám):

Megegyezés szerint bármilyen oldalú sokszögszám esetén 1 a legelső szám. A második szám szükségképpen a sokszög csúcsainak száma. A sokszög megnagyobbítása úgy történik, hogy két szomszédos oldalát kiterjesztjük egy pöttyel, majd elvégezzük a pontok közötti szükséges kiegészítést. A következő ábrákon a hozzáadott réteget piros színnel jelöljük.

Háromszögszámok:

Négyzetszámok:

A000290 The squares: a(n) = n^2. [1]

Ötszögszámok:

A000326 Pentagonal numbers: n(3n-1)/2. [2]

Hatszögszámok:

A000384 Hexagonal numbers: n(2n-1). [3]

Ha s a sokszög oldalainak száma, az n-edik s-szögszámot – P(s,n) – a következő képlet adja:

${\displaystyle P(s,n)={\frac {n^{2}(s-2)-n(s-4)}{2}}}$

vagy

${\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}$.

Név	Képlet	n =
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Háromszögszám	½n(1n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
Négyzetszám	½n(2n – 0)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
Ötszögszám	½n(3n – 1)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
Hatszögszám	½n(4n – 2)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
Hétszögszám	½n(5n – 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
Nyolcszögszám	½n(6n – 4)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
Kilencszögszám	½n(7n – 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
Tízszögszám	½n(8n – 6)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
11-szögszám	½n(9n – 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
12-szögszám	½n(10n – 8)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
13-szögszám	½n(11n – 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-szögszám	½n(12n – 10)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-szögszám	½n(13n – 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-szögszám	½n(14n – 12)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-szögszám	½n(15n – 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-szögszám	½n(16n – 14)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-szögszám	½n(17n – 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-szögszám	½n(18n – 16)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-szögszám	½n(19n – 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-szögszám	½n(20n – 18)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-szögszám	½n(21n – 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-szögszám	½n(22n – 20)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-szögszám	½n(23n – 21)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
26-szögszám	½n(24n – 22)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-szögszám	½n(25n – 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-szögszám	½n(26n – 24)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-szögszám	½n(27n – 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-szögszám	½n(28n – 26)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

Általánosított sokszögszámok

Az általánosított sokszögszámok ugyanazzal a képlettel állnak elő, mint a „sima” sokszögszámok, de az n értékeire a pozitív egész számok mellett a nullát és a negatív egész számokat is megengedjük.

További információk

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) ISBN 0140261494.
• Sokszögszámok a MathWorld honlapon

Kapcsolódó szócikkek

• Figurális számok
• Középpontos sokszögszámok
• Sokszögszámok listája