Projektor mátrix

A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amelynek minden sajátértéke 0 vagy 1. Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora. Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n, akkor az az egységmátrix. Négyzetre (és ebből következően bármilyen hatványra) emelve önmagát eredményezi.

Példák

2×2-es idempotens mátrixok:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-6\\1&-2\end{pmatrix}}}$

Egy 3×3-as idempotens mátrix:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{pmatrix}}}$

A 2×2-es eset

Ha az ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ mátrix idempotens, akkor ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$. Ebből következik, hogy

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc}$,
• ${\displaystyle b=ab+bd}$, azaz ${\displaystyle b(1-a-d)=0}$, tehát ${\displaystyle b=0}$ vagy ${\displaystyle d=1-a}$,
• ${\displaystyle c=ca+cd}$, azaz ${\displaystyle c(1-a-d)=0}$, tehát ${\displaystyle c=0}$ vagy ${\displaystyle d=1-a}$, és
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}}$.

Egy 2×2-es mátrix tehát akkor idempotens, ha vagy diagonális mátrix, vagy pedig nyoma 1. Megjegyzendő, hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az a és a d értéke 1 vagy 0.

Speciálisan

Ha b = c, akkor az ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ mátrix idempotens lesz, feltéve ha ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a}$, vagyis az (a, b) számpár kielégíti a következő másodfokú egyenletet:

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0}$, vagy ${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}}$,

ami egy olyan kör egyenlete, amely középpontjának a koordinátái (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, 0) és a sugara ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Az (a, b) koordinátájú pontok e kör pontjai. A θ szög mint paraméter függvényében kifejezve

${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta }$,

${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}\sin \theta }$, és az

${\displaystyle M={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1-\cos \theta \end{pmatrix}}}$ mátrix idempotens.

A b = c nem egy feltétel,

bármelyik ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$ mátrix, ahol ${\displaystyle a^{2}+bc=a}$ fennáll, idempotens, így például a fentebb említett ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-6\\1&-2\end{pmatrix}}}$ is az.

Tulajdonságok

Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható (szinguláris) mátrixok. Valóban, ha ${\displaystyle M}$ invertálható idempotens mátrix, akkor ${\displaystyle MM=M}$, ahonnan mindkét oldalt balról ${\displaystyle M^{-1}}$-zel szorozva ${\displaystyle M=IM=M^{-1}MM=M^{-1}M=I}$ adódik. Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok (és oszlopok) száma kisebb mint a sorok (és oszlopok) száma.

Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [I − M][I − M] = I − M − M + M^2 = I − M − M + M = I − M.

Az ${\displaystyle A}$ mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitív n számnál ${\displaystyle A^{n}=A}$. Az „akkor” feltétel következik abból ha ${\displaystyle n=2}$. A „csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani. Az ${\displaystyle n=1}$ esetében világos, hogy ${\displaystyle A^{1}=A}$. Feltételezve hogy ${\displaystyle A^{k-1}=A}$, akkor ${\displaystyle A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}$ megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyilvánvaló.

Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékei 0 vagy 1.[1] Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség (Variancia) számításoknál.

Alkalmazások

Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában. Például a legkisebb négyzeteknél (OLS), a regressziós probléma egy olyan ${\displaystyle \beta }$ vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat (félrebecsléseket), e_i.

Mátrix formában:

${\displaystyle {\text{Minimize }}(y-X\beta )^{T}(y-X\beta )\,}$

ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora.

A kapott együttható:

${\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y\,}$

ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}y=[I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}]y=My.\,}$

Itt, úgy az M mint az ${\displaystyle X(X^{T}X)^{-1}X^{T}}$ (projekciós) mátrix idenpotens és szimmetrikus, ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál

${\displaystyle {\hat {e}}^{T}{\hat {e}}=(My)^{T}(My)=y^{T}M^{T}My=y^{T}MMy=y^{T}My.\,}$

Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is, pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál, ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$.

Jegyzetek

1. Horn, Roger A.. Matrix analysis. Cambridge University Press, p. 148. o. (1990). ISBN 0521386322 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Idempotent matrix című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Mátrixaritmetika Archiválva 2015. március 3-i dátummal a Wayback Machine-ben