Prímszámtétel

A prímszámtétel a prímszámok eloszlását írja le.

A tétel

Ha x pozitív, jelölje ${\displaystyle \pi (x)}$ az x-ig terjedő prímszámok számát. A prímszámtétel azt állítja, hogy

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}$

Szokásos jelöléssel

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}$

ahol ln(x) a természetes logaritmust jelöli. A ${\displaystyle \sim }$ jelölés azt jelenti, hogy a két oldal hányadosa 1-hez tart, ha x végtelenhez tart (aszimptotikusan egyenlőek).

Jobb közelítések - nagy x-ekre :

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-1}}}$

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-1-{\frac {1}{\ln(x)}}}}}$

Még jobb közelítés adható a Li(x) függvénnyel.

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln(x)}}}\right)}$

ha x → ∞ (lásd O jelölés). Itt Li(x) a

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\;.}$

integrállogaritmus függvény.

A prímszámtételt abban az ekvivalens formában is kimondhatjuk, hogy az n-edik prím aszimptotikusan ${\displaystyle n\ln(n).}$[1]

( Nagy n-ekre jóval pontosabb közelítés : n ( ln(n) + ln(ln(n)) - 1 ) ).

A tételt Legendre és Gauss sejtette meg. Csebisev bebizonyította,[2] hogy nagy x-re

${\displaystyle 0,922{\frac {x}{\ln(x)}}<\pi (x)<1,105{\frac {x}{\ln(x)}},}$

de csak sokkal később, komplex függvénytani módszerekkel igazolta a prímszámtételt Hadamard és de La Vallée Poussin 1896-ban. A prímszámok eloszlása fontos kapcsolatban van a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek eloszlásával. Hadamard és de la Vallée-Poussin úgy vezette le a prímszámtételt, hogy megmutatták, hogy a zeta-függvénynek nincs 1 valós részű gyöke. Később kiderült, hogy a két állítás ekvivalens, ezért fontos kérdéssé vált az, hogy van-e elemi bizonyítás a prímszámtételre. Ilyet végül Erdős Pál és Atle Selberg adott 1949-ben, részben együttműködve, részben függetlenül. Az elemi szó ebben az összefüggésben azt jelenti, hogy nem használ komplex függvénytani eszközöket, csak elemi analízisbeli becsléseket, ezek a bizonyítások rendkívül fáradságosak és nagyon gyenge hibatagot adnak.

Általában igaz, hogy minél nagyobb tartományból sikerül kizárni a zeta-függvény gyökeit, annál jobb hibatagot kapunk, ezért nagy jelentőségű a zeta-függvény gyökeire vonatkozó Riemann-sejtés.

A Dirichlet-tétel általánosításaként belátható, hogy minden ${\displaystyle q>2}$-re a prímszámok egyenletesen oszlanak el a mod q redukált maradékosztályokban, azaz, ha ${\displaystyle \pi (x,q,a)}$ jelöli az x-nél nem nagyobb prímek számát, amelyek q-val osztva a maradékot adnak, akkor

${\displaystyle \pi (x;q,a)\sim {\frac {1}{\varphi (q)}}{\rm {Li}}(x).}$

A Siegel–Walfisz-tétel szerint, ha ${\displaystyle (a,q)=1}$, és ${\displaystyle q<(\log \,x)^{N}}$ egy valamilyen N konstansra, akkor

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {1}{\varphi (q)}}{\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-c{\sqrt {x}}}\right)}$

ahol az O-beli konstans N-től függ.

Táblázat π(x), x / ln x és li(x) értékeire

x	π(x)	π(x) − x / ln x	π(x) / (x / ln x)	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
10^2	25	3.3	1.151	5.1	4.000
10^3	168	23	1.161	10	5.952
10^4	1,229	143	1.132	17	8.137
10^5	9,592	906	1.104	38	10.425
10^6	78,498	6,116	1.084	130	12.740
10^7	664,579	44,158	1.071	339	15.047
10^8	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
10^9	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
10^10	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
10^11	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
10^12	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
10^13	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
10^14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
10^15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
10^16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
10^17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
10^18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
10^19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
10^20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
10^21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
10^22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
10^23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
10^24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	1.019	17,146,907,277	54.243

Források

1. Benjamin. Fine, Gerhard. Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes Springer, 2007, p.136
2. Simonovits, András. MATEMATIKATÖRTÉNETI VÁZLAT (pdf) (magyar nyelven), BME, Matematikai Intézet, 78. o. [2007. június 26.]. Hozzáférés ideje: 2013. május 13. „10.5. tétel”