Pollaczek–Khinchine-formula

A sorbanállás-elméletben a Pollaczek–Khinchine-formula kifejezi az átlagos sorbanállási hosszúságot, ahol a feladatok a Poisson-folyamat szerint érkeznek, és a szolgáltatás ideje általános eloszlást mutat az M/G/1-típusú sorbanállás szerint. A képlettel kiszámítható az átlagos várakozási idő is. A képletet először Pollaczek Félix publikálta 1930-ban,[1] és két évvel később Alekszandr Hincsin átdolgozta.[2][3]

Az átlagos sorbanállási hossz

Az átlagos sorbanállási hossz[4]

${\displaystyle L=\rho +{\frac {\rho ^{2}+\lambda ^{2}\operatorname {Var} (S)}{2(1-\rho )}}}$

ahol

• ${\displaystyle \lambda }$ A Poisson-folyamat beérkezési rátája
• ${\displaystyle 1/\mu }$ az S időeloszlás várható értéke
• ${\displaystyle \rho =\lambda /\mu }$ a kihasználás
• Var(S) az S szolgáltatási idő eloszlásának szórásnégyzete

Ahhoz, hogy az átlagos sorbanállási hossz véges legyen, szükséges, hogy ${\displaystyle \rho <1}$ legyen, máskülönben a feladatok gyorsabban érkeznének, mint ahogy elhagyják a sort. A ‘forgalom intenzitás’ 0 és 1 között van, és ez egy átlagos része annak az időnek, amikor a kiszolgáló foglalt. Ha a beérkezési ráta ${\displaystyle \lambda _{a}}$ nagyobb vagy egyenlő a ${\displaystyle \lambda _{s}}$ szolgálati rátával, akkor a sorbanállási késleltetés (várakozás) végtelen lesz.

Átlagos várakozási idő

Ha vesszük W-t, annak az átlagos időnek, amíg az ügyfél várakozik a sorban, akkor ${\displaystyle W=W'+\mu ^{-1}}$, ahol ${\displaystyle W'}$ az átlagos várakozási idő, és ${\displaystyle \mu }$ a szolgáltatás ideje. Felhasználva a Little-törvényt, mely szerint:

${\displaystyle L=\lambda W}$

ahol

• L az átlagos sor hossz
• ${\displaystyle \lambda }$ A Poisson-folyamat beérkezési rátája
• W az átlagos idő (várakozás és kiszolgálás),

így:

${\displaystyle W={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}+\mu ^{-1}.}$

Végül írható egy kifejezés az átlagos várakozási időre:[5]

${\displaystyle W'={\frac {L}{\lambda }}-\mu ^{-1}={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}.}$

Irodalom

• Pollaczek, F: Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie. (hely nélkül): Mathematische Zeitschrift 32:. 1930. 64–100. o.  
• Khintchine, A. Y: Mathematical theory of a stationary queue. (hely nélkül): Matematicheskii Sbornik 39 (4):. 1932. 73–84. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• http://www.cse.fau.edu/~bob/publications/CNS.4h.pdf
• Poisson-folyamat
• Sorbanállás-elmélet
• Erlang
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• M/G/1-típusú sorbanállás
• Statisztika

Jegyzetek

1. Pollaczek, F. (1930). „Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie”. Mathematische Zeitschrift 32, 64–100. o. DOI:10.1007/BF01194620. 
2. Takács, Lajos (1971). „Review: J. W. Cohen, The Single Server Queue”. Annals of Mathematical Statistics 42 (6), 2162–2164. o. DOI:10.1214/aoms/1177693087. 
3. doi:10.1007/s11134-009-9147-4
4. Haigh, John. Probability Models. Springer, 192. o. (2002). ISBN 1-85233-431-2 
5. Harrison, Peter G.. Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison-Wesley, 228. o. (1992). ISBN 0-201-54419-9