Pasch-tétel

A Pasch-tétel a geometria egyik tétele, amely kimondja, hogy egy egyenes tetszőleges négy pontja mindig megjelölhető ${\displaystyle A,B,C,D}$ címkékkel úgy, hogy a ${\displaystyle B}$ pont az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle C}$ között és ugyanakkor az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle D}$ között legyen, a ${\displaystyle C}$ pont pedig az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle D}$ és ugyanakkor a ${\displaystyle B}$ és ${\displaystyle D}$ között legyen.[1]

Története

Ezt a tételt Moritz Pasch vizsgálta először részletesen Vorlesungen über neuere Geometrie című könyvében, amely 1882-ben jelent meg. Ebben kimutatta, hogy Euklidész ezt a tulajdonságot anélkül használja fel Elemek című munkájában, hogy explicit axiómaként kimondaná. Ezeket az eredményeket felhasználva vette fel Hilbert ezt az axiómát saját axiómarendszerébe a Pasch-axiómával együtt a Grundlagend der Geometrie első kiadásában. Azonban E. H. Moore amerikai matematikus 1902-ben bebizonyította, hogy ez az állítás levezethető Hilbert többi axiómájából, ezért a Grundlagen der Geometrie 1903-as második kiadásában már csak tételként szerepel az állítás.[2]

Kapcsolódó szócikkek

• Pasch-axióma
• Hilbert-féle axiómarendszer

Hivatkozások

• Moritz Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig, 1882
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig, 2. kiadás, 1903
• Victor Pambuccian: The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces. Expositiones Mathematicae 29 (2011), 24-66.

Források

• A Pasch-tétel MathWorld oldalán
• Moritz Pasch biográfiája

Jegyzetek

1. „Sind irgend vier Punkte einer Geraden gegeben, so lassen sich dieselben stets in der Weise mit A, B, C, D bezeichnen, daß der mit B bezeichnete Punkt zwischen A und C und auch zwischen A und D und ferner der mit C bezeichnete Punkt zwischen A und D und auch zwischen B und D liegt.”
2. Lásd: Hilbert: Grundlagen der Geometrie 5. o.