Parciális integrálás

A matematikai analízisben a parciális integrálás egy olyan módszer, amely függvények szorzatának integrálját írja át a szorzatban szereplő függvények deriváltjának, illetve primitív függvényének használatával. A módszer gyakran leegyszerűsíti az integrandust abban az értelemben, hogy az integrálszámítást egyszerűbben végre lehet hajtani parciális integrálást követően.

Ha adott két függvény ${\displaystyle f=f(x)}$, illetve ${\displaystyle g=g(x)}$ alakban, a parciális integrálás szabálya szerint az integrál a következőképp írható át:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx}$.

Elméleti levezetése

Legyen ${\displaystyle f(x)}$ és ${\displaystyle g(x)}$ két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:

${\displaystyle {d \over dx}(f(x)g(x))={d \over dx}f(x)g(x)+f(x){d \over dx}g(x)}$.

Mindkét oldalt ${\displaystyle x}$ szerint integrálva kapjuk, hogy

${\displaystyle \int {d \over dx}(f(x)g(x))=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx}$.

A határozatlan integrál definíciója alapján az egyenlet a következőképp egyszerűsödik le:

${\displaystyle f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx}$,

ebből pedig következik, hogy:

${\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx}$.

Egy határozott integrál esetében az analízis alaptételét használva pedig a következő kifejezésre jutunk:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)b(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx.}$

Alkalmazásai

A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes ${\displaystyle f(x)}$-nek, illetve ${\displaystyle g(x)}$-nek választani.

Polinom- és trigonometrikus függvények szorzata

Számítsuk ki ${\displaystyle L}$-et, ahol

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}\ x\sin xdx}$.

Legyen

${\displaystyle f=x\Rightarrow df=dx,\qquad dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x}$.

Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát:

${\displaystyle \int x\sin xdx=-x\cos x-\int (-\cos xdx)=-x\cos x+\sin x+C}$,

ahol ${\displaystyle C}$ az integrálási állandó.

Konstanssal szorzott függvények

Számítsuk ki ${\displaystyle L}$-et, ahol

${\displaystyle L=\int \arctan xdx}$.

Ebben a formában még nem egyértelmű, hogyan hasznosítható a parciális integrálás. A következőképp átírva:

${\displaystyle L=\int \arctan x\cdot 1dx}$,

már egy szorzat van az integrál alatt, és a következőképp választhatjuk ${\displaystyle f(x)}$-et és ${\displaystyle g(x)}$-et:

${\displaystyle f=\arctan x\Rightarrow df={1 \over 1+x^{2}}dx,\qquad dg=dx\Rightarrow g=x}$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

${\displaystyle \int \arctan xdx=x\cdot \arctan x-\int {x \over 1+x^{2}}dx=x\cdot \arctan x-{\ln(1+x^{2}) \over 2}+C}$,

ahol ${\displaystyle C}$ az integrálási állandó.

Egy egyszerűbb példa a természetes logaritmusfüggvény:

${\displaystyle L=\int \ln xdx=\int \ln x\cdot 1dx}$.

Legyen

${\displaystyle f=\ln x\Rightarrow df={dx \over x},\qquad dg=dx\Rightarrow g=x}$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$,

ahol ${\displaystyle C}$ az integrálási állandó.

Trigonometrikus függvények szorzata

Számítsuk ki ${\displaystyle L}$-et, ahol

${\displaystyle L=\int \sin ^{2}xdx=\int \sin x\cdot \sin xdx}$.

Legyen

${\displaystyle f=\sin x\Rightarrow df=\cos xdx,\qquad dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x}$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát, a ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$ azonossággal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}xdx&=-\sin x\cdot \cos x-\int -\cos x\cdot \cos xdx\\&=-\sin x\ \cdot \cos x+\int \cos ^{2}xdx\\&=-\sin x\cdot \cos x+\int 1-\sin ^{2}xdx\\&=-\sin x\cdot \cos x+x-L\Rightarrow 2L=-\sin x\cdot \cos x+x.\end{aligned}}}$

Tehát

${\displaystyle L={-\sin x\cdot \cos x+x \over 2}+C}$.

ahol ${\displaystyle C}$ az integrálási állandó.

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Integration by parts című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Evans, Lawrence C. Partial Differential Equations.. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society (1998). ISBN 0-8218-0772-2. 
• Rogers, Robert C. The calculus of several variables (September 29 2011) 
• Horobetz, David. Tabular Integration by Parts. The College Mathematics Journal 
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts
• Methods of Applied Mathematics (PDF) (2005) 
• Finta, Zoltán. Matematikai analízis. Csíkszereda, Romania: Státus kiadó (2017). ISBN 978-606-661-059-9