NullvektortérA nullvektortér a matematikában egy vektortér, ami egyetlen vektort tartalmaz elemként, a nullvektort. Izomorfia erejéig az egyetlen nulla dimenziós vektortér, melynek bázisa az üres halmaz. Minden vektortér tartalmaz nullvektorteret legkisebb altereként. Vektorterek direkt összegében, illetve direkt szorzatában a nullvektortér neutrális elem. Adott test fölötti vektorterek kategóriájában a nullvektortér a nullobjektum. DefinícióA nullvektortér egy tetszőleges test fölötti vektortér, ami az egyetlen vektorból áll. Az egyetlen lehetséges összeadás: és az egyetlen lehetséges skalárral szorzás: minden skalárra. Így a vektor neutrális elem az összeadásra, és nullvektornak nevezzük. TulajdonságokVektortér-axiómákA nullvektortér eleget tesz a vektorterek axiómáinak:
Bázis és dimenzióA nullvektortér egyetlen bázisa az üres halmaz, mivel az üres halmaz lineáris burkára teljesül, hogy:
Így a nullvektortér dimenziója:
Megfordítva, bármely test fölötti nulldimenziós vektortér izomorf a nullvektortérrel. AltérkéntHa tetszőleges vektortér a test fölött, akkor van egy egyértelműen meghatározott neutrális eleme, a . Az halmaz altere -nek, mivel nem üres, és zárt a vektoriális összeadásra, illetve skalárral szorzásra:
Ezzel a tér, mint minden egyelemű vektortér, izomorf a nullvektortérrel, és nullvektorterének nevezik. Mivel egy vektortér nem lehet üres, azért ez a legkisebb lehetséges altere egy vektortérnek. Egy vektortér két komplementer alterének, -nek és -nek a metszete:
Összegek és szorzatokA nullvektortér a vektorterek direkt összegére és direkt szorzatára vonatkozóan a nullvektortér neutrális elem, vagyis minden vektortérben:
Ezzel szemben a tenzorszorzásban elnyelő tulajdonságú, azaz:
KategóriaelméletAz egy adott test fölötti vektorterek kategóriájában a lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal a nullvektortér nullobjektum: minden vektortérből pontosan egy lineáris leképezés megy a nullvektortérbe, és a nullvektortérből minden vektortérbe egyetlen lineáris leképezés megy: ami mindenhez a nullvektort rendeli. Ez a nullfüggvény, ami egyúttal a nullmorfizmus. Forrás
FordításEz a szócikk részben vagy egészben a Nullvektorraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként. |
Portal di Ensiklopedia Dunia