Multilineáris forma

A lineáris algebrában egy ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$-multilineáris forma egy ${\displaystyle p}$ aritású függvény, ahol a változók ${\displaystyle v_{i}\in V_{i},\;i\in \{1,\ldots ,p\}}$ vektorok az ugyanazon ${\displaystyle K}$ test fölötti ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{p}}$ vektorterekből, és a függvény értéke skalár a ${\displaystyle K}$ testből; továbbá minden változójában lineáris. Általánosabb esetben, amikor a képtér egy egynél magasabb dimenziós vektortér, vagy pedig vektorterek helyett modulusokról van szó, akkor multilineáris leképezésről beszélünk.

Definíció

Egy

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega :\ V_{1}\times \cdots \times V_{p}&\rightarrow K\\(v_{1},\ldots ,v_{p})\ &\mapsto \omega \left(v_{1},\dots ,v_{p}\right)\end{aligned}}}$

leképezés multilineáris forma, ha minden ${\displaystyle v_{j}\in V_{j},j\in \{1,\ldots ,p\}}$ és minden ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,p\}}$ esetén teljesülnek a következő feltételek:

Minden ${\displaystyle \lambda \in K}$ esetén

${\displaystyle \omega \left(v_{1},\ldots ,\lambda \;v_{i},\ldots ,v_{p}\right)=\lambda \;\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)}$

és minden ${\displaystyle w\in V_{i}}$ vektorra

${\displaystyle \omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i}+w,\ldots ,v_{p}\right)=\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)+\omega \left(v_{1},\ldots ,w,\ldots ,v_{p}\right)}$.

A multilineáris leképezések ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V_{1},\ldots ,V_{p})}$ halmaza vektortér a ${\displaystyle K}$ test fölött. Ha ${\displaystyle V_{1}=\cdots =V_{p}=:V}$, akkor ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V):={\mathcal {J}}^{p}(V,\ldots ,V)}$.

Alternáló multilineáris formák

Egy ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {J}}^{p}(V)}$ multilineáris forma alternáló, ha értéke nulla, valahányszor két argumentuma megegyezik. Azaz

${\displaystyle \omega \left(\dots ,v,\dots ,v,\dots \right)=0}$

minden ${\displaystyle v\in V}$ vektorra.[1] Az alternáló lineáris formák ferdén szimmetrikusak, ami azt jelenti, hogy tetszőleges két változót felcserélve előjelet vált, vagyis

${\displaystyle \omega \left(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{p}\right)=-\omega \left(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{p}\right)}$

minden ${\displaystyle v_{k}\in V,\;k\in \{1,\ldots ,p\}}$ és minden ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,p\},\;i\neq j}$ esetén. A megfordítás csak akkor következik, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, így például ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ esetén.[1] Általánosabban, ha ${\displaystyle \pi \in S_{p}}$ az indexek permutációja, akkor

${\displaystyle \omega \left(v_{\pi (1)},\dotsc ,v_{\pi (p)}\right)=\operatorname {sign} (\pi )\cdot \omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{p}\right)}$,

ahol ${\displaystyle \operatorname {sign} (\pi )}$ a permutáció előjele.

Az alternáló multilineáris formák ${\displaystyle \Omega ^{p}(V)}$ halmaza a ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V)}$ vektortér altere. Egy fontos speciális eset a ${\displaystyle \ p=\dim V}$. Ekkor ${\displaystyle \Omega ^{p}(V)}$ egydimenziós altér, melynek vektorai determinánsfüggvények.

Az összes ${\displaystyle \Omega ^{p}(V),p=0,1,2,\ldots }$ által generált vektortéren algebra definiálható. Ez az algebra a Graßmann-algebra.

Példák

• A lineáris formák pontosan az 1-multilineáris formák.
• A bilineáris formák pontosan a 2-multilineáris formák. Az antiszimmetrikus bilineáris formák alternálók is, ha a skalártest karakterisztikája különbözik 2-től.
• Ha ${\displaystyle n}$ vektorból négyzetes mátrixot alkotunk, akkor a mátrix determinánsa alternáló, normált ${\displaystyle n}$-multilineáris forma. Például háromdimenziós vektorok esetén a mátrix determinánsa:

${\displaystyle \omega \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right):=\det {\begin{pmatrix}v_{1x}&v_{2x}&v_{3x}\\v_{1y}&v_{2y}&v_{3y}\\v_{1z}&v_{2z}&v_{3z}\end{pmatrix}}}$

alternáló 3-lineáris forma. A ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$ vektorok koordinátákkal ábrázolva:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}v_{1x}\\v_{1y}\\v_{1z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{2}={\begin{pmatrix}v_{2x}\\v_{2y}\\v_{2z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{3}={\begin{pmatrix}v_{3x}\\v_{3y}\\v_{3z}\end{pmatrix}}}$.

• A kovariáns tenzorok multilineáris formák, és ha a ${\displaystyle V_{i}}$ vektorterek megegyeznek, azaz ${\displaystyle V_{i}=V}$, akkor a ${\displaystyle p}$-multilineáris formák ${\displaystyle p}$-edfokú kovariáns tenzorok. Ekkor a ${\displaystyle p}$-multilineáris formák teljesen antiszimmetrikus ${\displaystyle p}$-edfokú tenzorok.
• Egy differenciálforma egy differenciálható sokaság egy pontjához a hozzátartozó érintőtér egy alternáló multilineáris formáját rendeli.

Lásd még

Forma (algebra)

Jegyzetek

1. Arkady L'vovich Onishchik. Multilinear mapping (angol nyelven) 

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.