Magnetosztatika

A magnetosztatika a statikus mágneses terekkel foglalkozik. Elektromos analógiája, az elektrosztatika a statikus elektromos jelenségekkel foglalkozik (állandó áram és töltés).

A magnetosztatika mint a Maxwell-egyenletek speciális esete

A Maxwell-egyenletekből kiindulva, és feltételezve, hogy a töltések állandóak vagy egyenáramként mozognak, az egyenletek két részre oszthatók, kettő az elektromos teret írja le (elektrosztatika), kettő pedig a mágneses teret.[1] A terek az időtől és egymástól függetlenek. A magnetosztatikai egyenletek felírhatók differenciális és integrális formában is:

Törvény	Differenciális forma	Integrál forma
Gauss mágneses törvénye	${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\,\cdot {\overrightarrow {B}}=0}$	${\displaystyle \oint _{S}{\overrightarrow {B}}\,.\,\ d{\overrightarrow {s}}=0}$
Ampère-törvény	${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\,x{\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {J}}}$	${\displaystyle \oint _{C}{\overrightarrow {H}}\,.\,\ d{\overrightarrow {l}}=I_{enc}}$

Az első integrál egy S felületre vonatkozó integrál irányított ${\displaystyle \,{\vec {d}}s}$ felületelemmel. A második integrál egy vonali integrál a C zárt hurok körül ${\displaystyle \,{\vec {l}}}$ elemmel. A hurkon átfolyó áram az ${\displaystyle I_{enc}}$.

Ennek a közelítésnek a jósága úgy becsülhető, ha a fenti egyenleteket a Maxwell egyenletek teljes változatával vetjük össze, és figyelembe vesszük az azokból itt kihagyott tényezők fontosságát. Különös jelentősége van a ${\displaystyle \,{\vec {J}}}$ vektor és a ${\displaystyle {\frac {\,\partial {\overrightarrow {D}}}{\,\partial t}}}$ kifejezés összehasonlításának. Ha a ${\displaystyle \,{\vec {J}}}$ lényegesen nagyobb, akkor a kisebb kifejezés a pontosság jelentős csökkenése nélkül elhanyagolható.

Faraday törvény újra alkalmazása

Általánosan elfogadott módszer magnetosztatikus problémák megoldására az inkrementális idő módszer és aztán ezeket a megoldásokat a ${\displaystyle {\frac {\,\partial {\overrightarrow {B}}}{\,\partial t}}}$ tag megközelítésére lehet használni. Faraday törvénybe behelyezve ezeket az eredményeket kapunk egy értéket ${\displaystyle \,{\vec {J}}}$ -re (amelyet korábban nem vettünk figyelembe). Ez a módszer nem a Faraday egyenletek valódi megoldása, de jó közelítést ad lassan változó terek esetén.

Magnetosztatikus problémák megoldása áram esetében

Ha a rendszerbe folyó áramok mind ismertek (azaz a ${\displaystyle \,{\vec {J}}}$ teljes leírása ismert), akkor a mágneses mezőt a Biot–Savart-törvénnyel lehet meghatározni:

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{3}}}}$

Ez a technika jól működik vákuumban vagy levegőben, vagy olyan hasonló közegben, amelynek relatív permeabilitása =1. Ebben beleértendők a légréses transzformátok is. Előnye, hogy komplex tekercsgeometriákat részekre lehet integrálni, vagy igen nehéz geometriák esetében numerikus integrált lehet alkalmazni. Mivel ez az egyenlet elsősorban lineáris problémák megoldására használatos, a teljes megoldás minden egyes összetevő integráljának összegéből adódik.

Olyan problémák esetén, amikor a domináns mágneses anyag egy magas permeabilitású mágneses mag relatíve kis légréssel, a mágneses áramköri megközelítés lehet hasznos. Amikor a légrés nagy a mágneses áramkörhöz viszonyítva, rendszerint végeselemes módszerre van szükség. A véges elemű számításoknál a fenti magnetosztatikus egyenletek módosított formáját használják a mágneses potenciál kiszámításhoz. A ${\displaystyle \,{\vec {B}}}$ értékét a mágneses potenciálból lehet kiszámítani.

Erősen mágneses anyagok

Erősen mágneses anyagok (pl. ferromágneses anyagok, stb.) mágnesessége elsődlegesen az elektron spinjeinek tulajdonítható. Az ilyen anyagoknál a magnetizálás explicit módon kifejezhető:

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {M}}+{\vec {H}}).}$

A fémek kivételével az elektromos áram mellőzhető, így az Ampère-törvény:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}=0.}$

Az általános megoldás:

${\displaystyle {\vec {H}}=-\nabla U,}$

ahol U egy skalár potenciál. Ezt behelyettesítve a Gauss-törvénybe:

${\displaystyle \nabla ^{2}U=\nabla \cdot {\vec {M}}.}$

Így a mágnesezés divergenciájának,

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {M}},}$

hasonló szerepe van, mint az elektromos töltéseknek az elektrosztatikában.[2]

Itt a „magnetosztatika” nem teljesen megfelelő elnevezés, mert a módosított magnetosztatikai egyenletek alkalmazhatók a gyors mágneses változásoknál is, ahol a magnetizálás nanoszekundumok alatt, vagy még gyorsabban megsemmisíti saját magát.

Jegyzetek

1. (Feynman, Leighton & Sands 2006)
2. (Aharoni 1996)

Irodalom

1. Aharoni, Amikam (1996). Introduction to the Theory of Ferromagnetism. Clarendon Press. ISBN 0198517912
2. Oxford University Press: Introduction to the Theory of Ferromagnetism Archiválva 2011. június 29-i dátummal a Wayback Machine-ben
3. Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2006). The Feynman Lectures on Physics. 2. ISBN 0-8053-9045-6

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Magnetostatics című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.