Lineáris differenciálegyenlet

A közönséges lineáris differenciálegyenlet és a közönséges lineáris differenciálegyenlet-rendszer a közönséges differenciálegyenletek fontos osztálya.

Definíció

Adva legyen az ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ intervallum, a rajta értelmezett ${\displaystyle f:I\times (\mathbb {R} ^{m})^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ és ${\displaystyle g:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ valós értékű függvény. Ekkor az

${\displaystyle y^{(n)}=f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)+g(x)}$

egyenlet, ahol ${\displaystyle x\in I,\ y,y',\ldots ,y^{(n)}\in \mathbb {R} ^{m}}$, n-edrendű, m egyenlőséget tartalmazó (közönséges) lineáris differenciálegyenlet-rendszer, ha minden rögzített ${\displaystyle x\in I}$-re az

${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m})^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m},(a_{0},\ldots ,a_{n-1})\mapsto f(x,a_{0},\ldots ,a_{n-1})}$

leképezés lineáris.

Ha m=1, akkor (közönséges) lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Homogén, ha g(x) azonosan nulla, egyébként inhomogén.

A következőkben f(x)-et és g(x)-et folytonosnak tételezzük fel. Ekkor a ${\displaystyle y:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ n-szer differenciálható függvény az egyenletrendszer megoldása, ha

${\displaystyle y^{(n)}(x)=f\left(x,y(x),\ldots ,y^{(n-1)}(x)\right)+g(x)}$

teljesül minden ${\displaystyle x\in I}$-re. Ha ${\displaystyle f}$ nem függ az első változótól, akkor az egyenletrendszer állandó együtthatós.

Speciális esetei

Fontos speciális esetei:

• az m egyenletből álló elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszer:

${\displaystyle \ y'=A(x)y+b(x)\ ,}$

ahol ${\displaystyle A:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m\times m}}$ és ${\displaystyle b:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenletrendszer

${\displaystyle \ y'=A(x)y\ .}$

• az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}(x)y^{(i)}=b(x)\ ,}$

ahol ${\displaystyle a_{i},b:I\rightarrow \mathbb {R} }$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenlet

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}(x)y^{(i)}=0\ .}$

Ide tartoznak a további példák:

• Airy-féle differenciálegyenlet: ${\displaystyle \ y''-\lambda xy=0}$.
• Bessel-féle differenciálegyenlet: ${\displaystyle \ x^{2}y''+xy'+(x^{2}-n^{2})y=0,\ n\in \mathbb {R} }$.
• Csebisev-féle differenciálegyenlet: ${\displaystyle \ (1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0}$.
• Euler-féle differenciálegyenlet: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}b_{i}(cx+d)^{i}y^{(i)}(x)=0}$.
• Hermite-féle differenciálegyenlet: ${\displaystyle \ y''-2xy'+2ny=0,\ n\in \mathbb {Z} }$.
• hipergeometrikus differenciálegyenlet: ${\displaystyle \ x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y=0,\ \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} }$.
• Laguerre-féle differenciálegyenlet: ${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+ny=0,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$.
• Legendre-féle differenciálegyenlet: ${\displaystyle \ (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0}$.

Globális létezés és egyértelműség

Jelöljünk ki egy tetszőles ${\displaystyle x_{0}\in I}$ és egy ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{n-1}\in \mathbb {R} ^{m}}$ pontot. Kezdetiérték-feladatnak nevezzük azt a feladatot, ami a differenciálegyenlet egy olyan megoldását keresi, ami átmegy ezen a ponton.

Az

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)})+g(x)\ \\\ y^{(i)}(x_{0})=y_{i}\ ,\ i=0,\ldots ,n-1\\\end{array}}\right.}$ kezdetiérték-feladatnak létezik egy, és csakis egy ${\displaystyle y:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ megoldása a Picard–Lindelöf-tételek szerint.

A megoldások struktúrája

Homogén rendszerek

A homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai vektorteret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy két megoldás lineáris kombinációja szintén megoldás. Az n-edrendű homogén lineáris differenciálegyenlet és az n egyenletből álló elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak vektortere n dimenziós. A megoldások vektorterének tetszőleges bázisát alaprendszernek nevezzük. Egy alaprendszert oszlopokként mátrixba téve kapjuk a Vronszkij-determinánst.

Inhomogén rendszerek

Az inhomogén rendszerhez tartozó homogén rendszer egy alaprendszerének és az inhomogén rendszer egy y_p megoldásnak ismeretében az inhomogén rendszer összes megoldása kifejezhető:

${\displaystyle \{y=y_{h}+y_{p}\ |\ y_{h}\ }$ a homogén rendszer megoldása ${\displaystyle \}}$

Ezt az y_p megoldást partikuláris megoldásnak nevezzük.

Ha már megvan az alaprendszer, akkor tehát elég egy partikuláris megoldást találni. Egy általános módszer a konstans variációja, de speciális esetekben más módszerekkel hamarabb célt érünk. A megoldások hatványsor alakjában is kereshetők.

A megoldást megkönnyítheti egy alkalmasan választott transzformáció. Ha például ismert az inhomogén tag Laplace-transzformáltja, akkor abból meg lehet kapni a megoldás Laplace-transzformáltját. Ebből inverz transzformációval visszakapható az inhomogén rendszer partikuláris megoldása.

Ha az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer állandó együtthatós, akkor az egyenletrendszer alaprendszere megkapható a mátrix exponenciálisával, ami a Jordan-normálalakkal számítható.

Periodikus rendszerek

Legyen ω az ${\displaystyle A:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m\times m}}$ együtthatómátrix és a ${\displaystyle b:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ tag közös periódusa. Keressük az ${\displaystyle \ y'=A(x)y+b(x)}$ rendszer ω szerint periodikus megoldását. Általában nem tudunk explicit alaprendszert konstruálni, de struktúráját ismerjük Floquet tételéből:

Az ${\displaystyle \ y'(x)=A(x)y(x)}$ rendszer Φ alaprendszere ${\displaystyle \ \Phi (x)=P(x)\exp(xR)}$ alakú, ahol ${\displaystyle P:\mathbb {R} \rightarrow GL(m;\mathbb {C} )}$ folytonosan differenciálható, és ω szerint periodikus, és a ${\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$ mátrix konstans.

Már csak az a kérdés, hogy léteznek-e ω szerint periodikus megoldások. Jelölje ${\displaystyle L_{\omega }:=\{y\in C^{1}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{m})\ |\ y'(x)=A(x)y(x)\ {\textrm {und}}\ y\ \omega {\textrm {-periodisch}}\}}$ a homogén egyenlet ω szerint periodikus megoldásainak halmazát!

Ha Φ a homogén ${\displaystyle y'=A(x)y}$ rendszer alaprendszere, akkor ${\displaystyle \Phi (\omega )\Phi (0)^{-1}}$ sajátértékei a homogén rendszer karakterisztikus multiplikátorai. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén ${\displaystyle y'=A(x)y}$ rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.

Inhomogén esetben tekintjük a ${\displaystyle y'=-A(x)^{T}y}$ egyenlet ω szerint periodikus megoldásait:

${\displaystyle L_{\omega }^{\star }:=\{y\in C^{1}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{m})\ |\ y'(x)=-A(x)^{T}y(x)\ {\textrm {und}}\ y\ \omega {\textrm {-periodisch}}\}\ .}$

Ekkor a ${\displaystyle y'=A(x)y+b(x)}$ rendszernek akkor és csak akkor van ω szerint periodikus nem triviális megoldása, ha ${\displaystyle \int _{0}^{\omega }\langle y(s),b(s)\rangle {\rm {d}}s=0}$ teljesül minden ${\displaystyle y\in L_{\omega }^{\star }}$-ra.

Belátható, hogy ${\displaystyle \dim L_{\omega }=\dim L_{\omega }^{\star }}$. A ${\displaystyle y'=A(x)y+b(x)}$ rendszernek tehát minden b-re van ω szerint periodikus megoldása, függetlenül ${\displaystyle y'=A(x)y}$ karakterisztikus multiplikátoraitól.

Források

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.

Kapcsolódó szócikk

• George William Hill