Kvantum-összefonódás

A kvantum-összefonódás az a jelenség a kvantummechanikában, amikor két objektum kvantumállapota között összefüggés van olyan értelemben, hogy a teljes rendszer kvantumállapotát nem lehet a részrendszerek kvantumállapotának megadásával leírni. Összefonódás fennállhat egymástól térben távol eső objektumok között is.

Tiszta állapotok

Tiszta állapotok esetén az összefonódás azt jelenti, hogy a rendszer nem szorzatállapotban van, vagyis állapotvektora nem írható le a részrendszerek állapotvektorainak a szorzataként.

Tekintsünk példaként egy két, A és B kétállapotú rendszerekből álló összetett rendszert. A rendszerek két-két lehetséges tiszta állapotát jelölje ${\displaystyle |0\rangle _{A}}$, ${\displaystyle |1\rangle _{A}}$, ${\displaystyle |0\rangle _{B}}$ és ${\displaystyle |1\rangle _{B}}$.

Szeparálható- vagy szorzatállapot például a

${\displaystyle |\Psi _{1}\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}}$

állapot. Ez azt az állapotot jelöli, amikor az A rendszer ${\displaystyle |0\rangle _{A}}$, a B rendszer ${\displaystyle |1\rangle _{B}}$ állapotban van. Ebben az állapotban az összefonódás mértéke 0.

A következő állapot azonban összefonódott:

${\displaystyle |\Psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Ez az állapot nem áll elő két, A és B beli,

${\displaystyle |\Psi _{a}\rangle =a_{0}|0\rangle _{A}+a_{1}|1\rangle _{A}}$

${\displaystyle |\Psi _{b}\rangle =b_{0}|0\rangle _{B}+b_{1}|1\rangle _{B}}$

alakú állapotok szorzataként. Valóban, ezek szorzata

${\displaystyle |\Psi _{a}\rangle \otimes |\Psi _{b}\rangle =(a_{0}|0\rangle _{A}+a_{1}|1\rangle _{A})\otimes (b_{0}|0\rangle _{B}+b_{1}|1\rangle _{B})=}$

${\displaystyle =a_{0}b_{0}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+a_{0}b_{1}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+a_{1}b_{0}|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+a_{1}b_{1}|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}.}$

Mivel ez a 4 szorzatállapot, ${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$, ${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}}$, ${\displaystyle |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$ és ${\displaystyle |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}}$ bázist alkot a két rendszert leíró 4 dimenziós Hilbert-térben, az együtthatókra fennáll az

${\displaystyle a_{0}b_{0}=0}$

${\displaystyle a_{0}b_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle a_{1}b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}=0}$

egyenletrendszer, amelynek nincsen megoldása.

Kevert állapotok

Kevert állapotok esetén a rendszer összefonódott, ha nem szeparálható, azaz ha sűrűségmátrixa nem írható le szorzatállapotok keverékeként[1]

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{k}^{(1)}\otimes \rho _{k}^{(2)}}$

ahol

${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1,}$

és ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$. Itt ${\displaystyle \rho }$ a teljes rendszer sűrűségmátrixa, míg ${\displaystyle \rho _{k}^{(1)}}$ és ${\displaystyle \rho _{k}^{(2)}}$ az első, illetve a második részrendszerhez tartozó sűrűségmátrixok.

A maximálisan kevert állapotot szokás teljesen kevert állapotnak is hívni. Sűrűségmátrixa:[2]

${\displaystyle \rho =I/d}$,

ahol ${\displaystyle I}$ az egységmátrix és ${\displaystyle d}$ a rendszer dimenziója. Erre az állapotra, minden operátor várható értéke a mátrix nyomával arányos

${\displaystyle \langle A\rangle ={\rm {trace}}(A)/d}$.

A maximálisan kevert állapot tisztasága minimális

${\displaystyle {\rm {trace}}(\rho ^{2})=1/d.}$

Ennek megfelelően a lineáris entrópiája maximális

${\displaystyle S_{\rm {lin}}(\rho )=1-{\rm {trace}}(\rho ^{2})=(d-1)/d.}$

A maximálisan kevert állapot Neumann-entrópiája is maximális

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {trace}}(\rho \log \rho )=\log d.}$

Alkalmazása

A kvantum-összefonódás a kvantuminformatika egyik alapvető fogalma. Mint erőforrás lehetővé teszi, hogy kvantuminformatikai algoritmusok (például kvantumteleportáció) nagyobb hatékonysággal működjenek, mintha összefonódás nem állna rendelkezésre. Másrészt annak eldöntése, hogy egy kvantumállapot szeparálható-e vagy összefonódott, fontos elméleti probléma, amivel az utóbbi évtizedben számos tudományos közlemény foglalkozik.[3]

Források

1. R.F. Werner, Phys. Rev. A 40, 4277 - 4281 (1989).
2. Nielsen, Michael A.. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition. New York, NY, USA: Cambridge University Press (2011) 
3. R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki: arXiv:quant-ph/0702225v1; http://arxiv.org/abs/quant-ph/0702225v1

Irodalom

• M.A. Nielsen, I.L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press; első kiadás (2000. szeptember)