Kilencszög

Kilencszög
Általános kilencszög
Élek, csúcsok száma	9
Átlók száma	27
Belső szögek összege	1260°
Szabályos kilencszög
Schläfli-szimbólum	{9}
Szimmetriacsoport	D9 diédercsoport
Terület: egységnyi oldalra	6,181824
Belső szög	140°

A kilencszög egy sokszög, amelyet 9 síkbeli pont határoz meg.

Szabályos kilencszög

A szabályos kilencszög minden szöge 140°. A kilenc generáló egyenlőszárú háromszög befogói 40°-os szöget zárnak be.

A szabályos sokszögek szögeire ismert az alábbi képlet:

${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }}$

amely n=9 esetben

${\displaystyle \alpha ={\frac {7}{9}}\cdot 180^{\circ }=140^{\circ }}$

Területe

A szabályos kilencszög területe a következőképpen határozható meg az oldalhossz függvényében:

${\displaystyle A={\frac {9}{4}}\cdot a^{2}\cdot {\frac {\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}}}$

Ha a köréírható kör sugara ismert, akkor annak segítségével így:

${\displaystyle A={\frac {9}{2}}\cdot r^{2}\cdot \sin 40^{\circ }}$

Az oldalhossz és a sugár viszonya

A szabályos kilencszög oldalhossza és a köréírható kör sugara között az alábbi összefüggés mutatható meg:

${\displaystyle s=2\cdot r\cdot \sin {20^{\circ }}}$

${\displaystyle s\approx r\cdot 0{,}68404029}$

Átlók

A szabályos kilencszögnek háromféle átlója van. Amelyik 2, 3 illetve 4 oldalt fog át. Ezek hosszai rendre a következők:

${\displaystyle d_{2}=2r\sin 40^{\circ }}$

${\displaystyle d_{3}=2r\sin 60^{\circ }}$

${\displaystyle d_{4}=2r\sin 80^{\circ }}$

A legrövidebb és a leghosszabb átló hosszának különbsége megegyezik az oldalhosszal:

${\displaystyle s=d_{4}-d_{2}}$