Kényszermozgás (fizika)

A kényszermozgás kényszerfeltétel(ek)nek alávetett tömegpont vagy más fizikai rendszer mozgása.

Kényszererő

Ha a kényszer egy megadott felületen való mozgást jelent, ez egy kényszererővel vehető figyelembe. A felület egy ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=0}$ egyenlettel adható meg.

Ha nincs súrlódás, akkor a felület támasztókényszerként működik, a mozgás minden pillanatában, tehát a kényszererő iránya mindig merőleges a felületre.
Mivel egy felület gradiense is egy merőleges vektor a mondott felületre, a kényszererőt általános alakban

${\displaystyle \mathbf {F'} =\lambda \operatorname {grad} f=\lambda {\frac {df}{d\mathbf {r} }}}$

kifejezéssel adhatjuk meg.

Ha a súrlódás nem hanyagolható el, akkor a kényszererőnek lesz egy a felület érintő irányába eső komponense is. A Coulomb-súrlódás törvénye szerint a súrlódási erő nagysága arányos a felületre merőlegesen ható nyomóerővel, iránya pedig ellentétes a mozgás sebességvektoráéval, vagyis:

${\displaystyle \mathbf {F''} =-\mu |\mathbf {N} |{\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}=-\mu |\lambda \operatorname {grad} f|{\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}=-\mu \lambda \left|{\frac {df}{d\mathbf {r} }}\right|{\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}}$.

Ezeket figyelembe véve a kényszerfelületen mozgó anyagi pont mozgástörvénye:

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} +\mathbf {F'} +\mathbf {F''} }$,

vagyis így a tömegpont már szabad mozgásúnak tekinthető.

A kényszermozgások általában a Lagrange-féle mozgásegyenletek segítségével tárgyalhatók.

Lagrange-féle mozgásegyenletek

<Joseph Louis Lagrange nevéről>

A Lagrange-féle mozgásegyenletek az anyagi rendszerek mozgását előnyös matematikai megfogalmazásban leíró egyenletek.

Elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek

Az elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a kényszerfeltételeknek alávetett mechanikai rendszerek mozgásegyenletei.

Az általában geometriai eredetű (azaz adott felületen vagy görbén való mozgást előíró) kényszer legtöbbször egy kényszererő formájában vehető figyelembe, az eredeti Newton-féle mozgásegyenleteknél a külső és belső szabad erők (F) mellett a kényszererőt (F′) is figyelembe kell venni:

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} +\mathbf {F'} }$,

ahol m a tömeg, ${\displaystyle {\mathbf {r} }}$ a helyvektor, ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$ a gyorsulás. Azaz a kényszererők és szabaderők együttes hatására az anyagi pont úgy mozog, mintha szabad mozgást végezne. Konkrét számításokhoz azonban nem használható, hiszen nemcsak a gyorsuláskomponenseket, de a kényszererő komponenseit sem ismerjük.

Az ${\displaystyle \mathbf {F'} }$-ről feltehetjük, hogy mindig merőleges a mozgást tartalamzó felületre, ezért (mivel az f felületre a grad f gradiensvektor is merőleges) írhatjuk: ${\displaystyle \mathbf {F'} =\lambda \operatorname {grad} f}$. (Az - egyelőre - meghatározatlan ${\displaystyle \lambda }$ tényező neve: Lagrange-féle multiplikátor.) Az így kapott

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} +\lambda \operatorname {grad} f}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=0}$

egyenletrendszerből az ismeretlen r = r(t) és ${\displaystyle \lambda }$ kiszámítható.

Ha pl. a kényszerfeltétel előírása szerint az anyagi pontnak egy görbén kell mozognia, akkor a görbe az ${\displaystyle f_{1}({\mathbf {r} },t)=0}$ és ${\displaystyle f_{2}({\mathbf {r} },t)=0}$ egyenletek által megadott felületek metszésvonalának tekinthető, s a kényszererő ${\displaystyle \mathbf {F'} =\lambda _{1}\operatorname {grad} f_{1}+\lambda _{2}\operatorname {grad} f_{2}}$ alakban írható, mivel a kényszererő a két előírt felületre merőleges. Így az előírt görbén mozgó anyagi pont mozgásegyenlete így alakul:

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} +\lambda _{1}\operatorname {grad} f_{1}+\lambda _{2}\operatorname {grad} f_{2}}$,

amihez csatolni kell a két felület :${\displaystyle f_{1}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=0}$ és ${\displaystyle f_{2}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=0}$ egyenleteit.

Másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek

Számtalan mechanikai probléma megoldása lényegesen egyszerűsödik, ha derékszögű koordináta-rendszer helyett más koordinátákat választunk. Ha az n számú anyagi pontból álló mechanikai rendszer r számú kényszerfeltétele holonom, vagyis ${\displaystyle f_{k}(x_{1},...,x_{3n},t)=0}$ (ahol k = 1,2,...,r) alakban adható meg, a 3n derékszögű koordináta közül csupán 3n–r független, azaz a rendszer szabadsági foka: f = 3n–r . Az ilyen rendszer helyzetét f számú, egymástól független ${\displaystyle q_{1},q_{2},....,q_{f}}$ adat egyértelműen meghatározza.

A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekben a derékszögű koordináták helyett olyan, a rendszer f szabadsági fokával megegyező számú ún. általános koordinátát (${\displaystyle q_{1}}$, …, ${\displaystyle q_{f}}$) vezetnek be, amelyek használatakor a kényszerfeltételek már eleve teljesülnek (pl. az egységnyi sugarú gömbfelületen mozgó pont esetében választható általános koordináták a ϕ és ϑ polárkoordináták). A rendszer

${\displaystyle L=L(q_{1}}$,…,${\displaystyle q_{f}}$,${\displaystyle {\dot {q_{1}}}}$,…,${\displaystyle {\dot {q}}_{f},t)}$

Lagrange-függvényét felírva ${\displaystyle {\dot {q_{1}}}}$,…,${\displaystyle {\dot {q}}_{f}}$ az ún. általános sebességek (az általános koordinátáknak a t idő szerinti differenciálhányadosai), a Hamilton-elvből levezethető

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {q_{i}}}}=0}$

másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekből meghatározható ${\displaystyle q_{i}=q_{i}(t)}$ (ahol i = 1, …,f) függvények lesznek a mozgásprobléma megoldásai.

A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a mechanika számára az alkalmazások szempontjából az egyik legjobban használható módszert adják, elsősorban akkor, ha a kényszerfeltételek igen összetettek (bár csak véges szabadságfokú mechanikai rendszerek esetén érvényesek).

A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a mechanikán kívül a fizika más fejezeteiben (elektrodinamika, kvantummechanika, térelméletek) is alkalmasak az alapegyenletek megfogalmazására, amennyiben az ott jellemző Lagrange-függvény alakja megadható.

Jegyzetek

• Természettudományi lexikon III. (Gy–K). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1966. 645–646. o.
• Természettudományi lexikon IV. (L–N). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1967. 9–10. o.
• Nyugat-magyarországi Egyetem Kinetika (jegyzet)