Faktorizációs tétel

A polinomfaktorizációs tétel az algebra egy tétele, amely a polinommaradék-tétel egy speciális esete.[1]

A faktorizációs tétel azt állítja, hogy az ${\displaystyle f(x)}$ polinomnak akkor és csak akkor osztója ${\displaystyle x-k}$, ha ${\displaystyle f(k)=0}$ (vagyis ha ${\displaystyle k}$ egy gyöke az ${\displaystyle f(x)}$ polinomnak).[2]

Polinomok faktorizációja

Bővebben: Polinomok faktorizációja

A tételt leggyakrabban polinomok faktorizációjánál és algebrai egyenletek megoldásánál alkalmazzák (mivel ezek a problémák lényegében ekvivalensek).

A tételt úgy alkalmazzák, hogy az ismert gyökökhöz tartozó gyöktényezőket „kiemelik”, így egy alacsonyabb fokú polinomot kell felbontani a többi gyök megtalálása érdekében (amely vélhetőleg könnyebb). A módszer leírható így:[3]

1. „Tippelgetéssel” vagy valamilyen más módon keressük meg az ${\displaystyle f}$ polinom egy gyökét, ${\displaystyle a}$-t. (A valóságban általában ez a feladat nagyon nehéz, de a tankönyvi példák gyakran úgy készülnek, hogy ez a lépés könnyen megoldható legyen.)
2. A fenti tételt felhasználva állapítsuk meg, hogy ${\displaystyle x-a}$ osztója ${\displaystyle f(x)}$-nek.
3. Számítsuk ki a ${\displaystyle g(x)=f(x){\big /}(x-a)}$ polinomot például polinomosztással.
4. Vegyük észre, hogy ${\displaystyle f(x)=0}$ bármely ${\displaystyle x\neq a}$ megoldása, megoldása a ${\displaystyle g(x)=0}$ egyenletnek. Mivel a ${\displaystyle g}$ polinom foka eggyel kisebb mint, ${\displaystyle f}$-é, így a hátralévő megoldások megtalálását a kisebb fokú ${\displaystyle g}$ polinom gyökeinek megtalálására redukáltuk.

Példa

Faktorizáljuk a

${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2.}$

polinomot. Ahhoz, hogy elinduljuk kezdésnek például próbálgatással megkeressük az első olyan x értéket amire a kifejezés helyettesítési értéke 0 (vagyis gyöke a polinomnak). Például ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a fenti polinomnak ${\displaystyle (x-1)}$ a faktora-e (vagyis hogy maradék nélküli osztója-e), ${\displaystyle x=1}$-et helyettesítünk a fenti polinomba:

${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2=(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2}$

${\displaystyle =1+7+8+2}$

${\displaystyle =18.}$

Mivel a helyettesítési érték 18 és nem 0 ez azt jelenti, hogy ${\displaystyle (x-1)}$ nem faktora az ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$-nek. Legyen a következő kísérletünk az ${\displaystyle (x+1)}$ (vagyis helyettesítsünk ${\displaystyle x=-1}$-et a polinomba):

${\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2.}$

Mivel az eredmény most ${\displaystyle 0}$, így ${\displaystyle x-(-1)}$, vagyis ${\displaystyle x+1}$, osztója a polinomnak, ${\displaystyle -1}$ pedig egy gyöke a ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$ polinomnak.

A másik két gyököt megtalálhatjuk ha ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$ elosztjuk polinomosztással ${\displaystyle (x+1)}$-gyel és az így kapott másodfokú polinom gyökeit direkt módon (a másodfokú egyenlet megoldóképletével) megkeressük.

${\displaystyle {x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2}$

így ${\displaystyle (x+1)}$ és ${\displaystyle x^{2}+6x+2}$ osztói a ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$ polinomnak.

Általánosan

Legyen ${\displaystyle f}$ egy egyváltozós polinom úgy, hogy az együtthatói egy ${\displaystyle R}$ kommutatív gyűrűből származnak és legyen ${\displaystyle a\in R}$. Ekkor ${\displaystyle f(a)=0}$ akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle f(x)=(x-a)g(x)}$ valamely ${\displaystyle g}$ polinomra.

Ha adott egy ${\displaystyle f}$ polinom és minden gyökét meg kívánjuk találni és adott ${\displaystyle a}$ akkor ${\displaystyle g}$ kiszámítható polinomosztással, majd ${\displaystyle f}$ további gyökeit ${\displaystyle g}$ faktorizációjával kaphatjuk meg.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Factor theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

1. Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2
2. Sehgal, V K & Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1
3. Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.