Einstein-féle összegkonvenció

Az Einstein-féle összegkonvenció, más néven Einstein-féle automatikus összegkonvenció avagy Einstein-féle néma index konvenció egy indexes jelölés az összegekre a Ricci-kalkulusban. Azt jelenti, hogy az azonos indexű tagok összeadandók, és nem tünteti fel a szumma jelet. A Ricci-kalkulust a differenciálgeometriában, a tenzoranalízisben és az elméleti fizikában használják. A konvenciót Albert Einstein 1916-ban javasolta.

Motiváció

A mátrix- és tenzorszámításokban gyakran képződnek indexes összegek. Például két ${\displaystyle n\times n}$-es mátrix, A és B szorzata:

${\displaystyle (A\cdot B)_{ij}=\sum _{k=1}^{n}A_{ik}\cdot B_{kj}}$

Itt a k indexre összegzünk 1-től n-ig. A többszörös mátrix- és skalárszorzatok hamar átláthatatlanná válnak. A fenti szorzat az Einstein-féle összegkonvencióval:

${\displaystyle (A\cdot B)_{ij}=A_{ik}\cdot B_{kj}}$

Formálisan

Az összegkonvenció legegyszerűbb változata így hangzik: ha egy szorzatban egy index kétszer is felbukkan, akkor összegzünk rá. A relativitáselméletben csak akkor összegeznek, ha a kovariáns és a kontravariáns index egyezik meg. Ezt a kétféle indexet úgy különböztetik meg egymástól, hogy a kovariáns indexet alulra, a kontravariáns indexet pedig felülre teszik.

Az összegzési konvencióval az írásmód rövidebb, és segít felismerni olyan szimmetriákat és összefüggéseket, amelyek a hagyományos írásmódban felismerés nélkül maradnának.

Példák

Különbségtétel nélkül

A következő példában ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n\times n}$-es mátrix, értékeik ${\displaystyle A_{ij},B_{ij}}$ és ${\displaystyle {\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right),{\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}\right)}$ hozzájuk illeszkedő vektorok.

• Skaláris szorzat: ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{i}y_{i}}$.
• Mátrix-vektor szorzat: ${\displaystyle \left(A{\vec {x}}\right)_{i}=A_{ij}x_{j}}$
• Több mátrix szorzata (itt négy): ${\displaystyle (ABCD)_{ij}=A_{il}B_{lm}C_{mn}D_{nj}}$.
• Az A mátrix nyoma: ${\displaystyle {\text{Spur}}\,A=A_{ii}}$

Kovariáns és kontravariáns indexek szerint

• Az ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ és ${\displaystyle B_{j}^{i}}$ komponensű tenzorok ${\displaystyle C_{j}^{i}}$ komponensű szorzata ${\displaystyle C_{j}^{i}=A_{k}^{i}B_{j}^{k}}$
• Az ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ komponensű tenzor alkalmazása az ${\displaystyle x^{i},y^{i}}$ összegére a ${\displaystyle z^{i}}$ vektort adja: ${\displaystyle z^{i}=A_{j}^{i}\left(x^{j}+y^{j}\right)}$.
• A t tenzormező egy ${\displaystyle U}$ környezetben ábrázolható, mint:

${\displaystyle t|_{U}=t_{j_{1},\ldots ,j_{s}}^{i_{1},\ldots ,i_{r}}{\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{r}}}}\otimes \mathrm {d} x^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} x^{j_{s}}.}$

ahol az ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}}$ objektum indexe alsó indexnek tekintendő.

Források

• Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, ISSN 0003-3804, 770–822, (online (PDF; 3,72 MB).