C*-algebra

A matematikában a C*-algebra olyan Banach-algebra, mely el van látva egy, az adjungálás (konjugált transzponálás) tulajdonságaival rendelkező involúcióval.

A C*-algebrákat először a kvantummechanikában alkalmazták megfigyelhető mennyiségek algebráinak leírására, Werner Heisenberg munkája során. A formalizmust matematikailag magasabb szintre Pascual Jordan fejlesztette 1933 körül. Ezt követően a C*-algebrák egyik fontos alosztályával foglalkozott Neumann János, amiket azóta Neumann-algebráknak vagy W*-algebráknak hívunk. Végül a C*-algebrák absztrakt definícióját Israel Gelfandnak és Mark Naimarknak köszönhetjük.

A C*-algebrák fontos eszközei a lokálisan kompakt csoportok unitér ábrázoláselméletének, továbbá a kvantummechanika algebrai módszerekkel való kifejezésének. Ezen módszer különösebb sikereket ért el olyan spinlánc-modellek tanulmányozásában és általánosításában, mint az AKLT-modell vagy a Majumdar-Ghosh-modell.[1][2]

Alapismeretek és definíciók

Komplex asszociatív algebrának nevezünk egy olyan ${\displaystyle A}$ komplex vektorteret, melyen a szorzás ${\displaystyle A\times A\to A,\,(X,Y)\mapsto XY}$ asszociatív (átzárójelezhető) és bilineáris. Az algebra egységelemének nevezzük azt az egyedi ${\displaystyle \mathbf {I} \in A}$ nemnulla elemet, mely minden ${\displaystyle X}$-re teljesíti a következőt:

${\displaystyle A\mathbf {I} =\mathbf {I} A=A}$.

Amennyiben az ${\displaystyle A}$ vektorteret az asszociatív algebra struktúrája mellett ellátjuk egy ${\displaystyle \|.\|}$ normával, amely szub-multiplikatív, tehát minden ${\displaystyle X,Y\in A}$ elemre teljesül:

${\displaystyle \|XY\|\leq \|X\|\|Y\|}$,

egy normált algebrát kapunk. Ha ebben a normált algebrában minden Cauchy-sorozat konvergens (tehát ${\displaystyle A}$ teljes), az algebrát Banach-algebrának hívjuk. Amennyiben az algebra rendelkezik egységelemmel, további feltétel, hogy annak normája 1 legyen.

Egy ${\displaystyle A}$ Banach-algebrát egy ${\displaystyle X\mapsto X^{*}}$ leképezéssel (ahol ${\displaystyle X\in A}$) *-algebrának hívunk, amennyiben:

• A leképezés minden ${\displaystyle X\in A}$-re involutív:

${\displaystyle X^{**}=(X^{*})^{*}=X}$,

• minden ${\displaystyle X,Y\in A}$-ra:

${\displaystyle (X+Y)^{*}=X^{*}+Y^{*}}$

${\displaystyle (XY)^{*}=Y^{*}X^{*}}$,

• továbbá minden komplex ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$-ra:

${\displaystyle (\lambda X)^{*}={\overline {\lambda }}X^{*}.}$

Egy *-algebrát akkor hívunk C*-algebrának, amennyiben a következő feltétel is teljesül:

${\displaystyle \|XX^{*}\|=\|X\|^{2},}$

Egy C*-algebrák közötti ${\displaystyle \pi :A\to B}$ korlátos lineáris operátort *-homomorfizmusnak nevezünk, amennyiben a következők teljesülnek:

${\displaystyle \forall x,y\in A:\pi (x)\pi (y)=\pi (xy)\,}$ és ${\displaystyle \,\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}.}$

Egy bijektív *-homomorfizmust C*-izomorfizmusnak hívunk, és amennyiben ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ C*-algebrák között létezik egy ilyen hozzárendelés, az algebrákat izomorfnak hívjuk.

Példák

Ez a szakasz egyelőre üres vagy erősen hiányos. Segíts te is a kibővítésében!

Véges dimenziós C*-algebrák

A komplex ${\displaystyle n\times n}$ mátrixok algebrája (${\displaystyle \operatorname {M} (n,\mathbb {C} )}$) egy C*-algebra, ha a mátrixokat komplex n-dimenziós vektorokon ható operátoroknak tekintjük és ellátjuk őket az ${\displaystyle \|\cdot \|}$ operátornormával. Ebben az esetben az involúció a konjugált transzponálás (adjungálás).

Operátorok C*-algebrái

Az egyik legismertebb példája a C*-algebráknak a ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ komplex Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátorok algebrája (${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$), amennyiben két további feltétel teljesül: ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ topológiai értelemben zárt a norma által indukált topológiában, és minden ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$-ba tartozó operátor adjungáltja is az algebához tartozik. A Gelfand-Naimark-tétel szerint minden C*-algebra *-izomorf ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ egy szubalgebrájával, megfelelő ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-ra.

Neumann-algebrák

A Neumann-algebrák, más néven W*-algebrák a C*-algebrák egy speciális alosztálya, melyek a gyenge operátor-topológia szerint zártak. A Sherman–Takeda-tétel szerint bármely C*-algebra duális terének duálisa egy W*-algebra.

Fizikai jelentősége

Kvantummechanikában lehetséges a fizikai rendszert egységelemmel rendelkező C*-algebrával leírni, melynek önadjungált (azaz olyan elemek, melyekre ${\displaystyle X=X^{*}}$ igaz) elemeit megfigyelhető mennyiségeknek tekintjük. A kvantumállapotot a C*-algebrán definiált pozitív lineáris funkcionál írja le, tehát egy olyan ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineáris ${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }$, melyre ${\displaystyle \varphi (X^{*}X)\geq 0}$ teljesül minden ${\displaystyle X\in A}$-ra. Amennyiben a rendszer ${\displaystyle \varphi }$ állapotban van, adott ${\displaystyle X}$ mennyiség várható értéke ${\displaystyle \varphi (X)}$ lesz.

Jegyzetek

1. Fannes, M., Nachtergaele, B. & Werner, R.F. (1992). „Finitely correlated states on quantum spin chains”. Commun.Math. Phys. 144, 443–490. o. DOI:10.1007/BF02099178. 
2. Nachtergaele, B. (1996). „The spectral gap for some spin chains with discrete symmetry breaking”. Commun.Math. Phys. 175, 565–606. o. DOI:10.1007/BF02099509. 

Források

• Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0.
• Connes, Alain (1994), Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X, <https://archive.org/details/noncommutativege0000conn>.
• Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8.
• Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3.
• Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1.
• Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society 53 (2): 73–88, DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a C*-algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.