Bolzano-tétel

A Bolzano-tétel szerint intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

Bizonyítás

Egymásba skatulyázott intervallumokkal

Legyen ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ a fenti függvény és a, illetve b az értelmezési tartományának olyan pontjai, melyekben a függvény előjele ellenkező és a < b. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy ${\displaystyle f(a)<f(b)}$. Intervallumfelezéses eljárással megmutatjuk, hogy a függvénynek van zérushelye. Legyen ${\displaystyle (x_{n})}$ és ${\displaystyle (y_{n})}$ a következő, közösen, rekurzív módon definiált sorozat:

${\displaystyle x_{0}:=a\,}$

${\displaystyle y_{0}:=b\,}$

Tetszőleges ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$-re legyen

${\displaystyle c_{n}:={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$

Ha ${\displaystyle f(c_{n})=0\,}$, akkor megtaláltuk f egy keresett zérushelyét.
Ha ${\displaystyle f(c_{n})<0~\Rightarrow x_{n+1}:=c_{n};\quad y_{n+1}:=y_{n}}$
Ha ${\displaystyle f(c_{n})>0~\Rightarrow x_{n+1}:=x_{n};\quad y_{n+1}:=c_{n}}$

Ha c sosem nulla, akkor: ${\displaystyle x_{n}:f(x_{n})<0~(n\in \mathbb {N} )}$ monoton nő, ${\displaystyle y_{n}:f(y_{n})>0~(n\in \mathbb {N} )}$ monoton csökken, mivel az algoritmust így készítettük el.
A két sorozat tagjainak „távolsága”: ${\displaystyle \left|x_{n}-y_{n}\right|={\frac {y_{0}-x_{0}}{2^{n}}}\to 0~(n\to \infty )(*)}$. Mivel ${\displaystyle x_{n},y_{n}\in [a,b]}$ zárt intervallum, és mert mindkét sorozat monoton, ${\displaystyle \exists \lim(x_{n})}$ és ${\displaystyle \lim(y_{n})}$, és ezek (*) miatt egyenlőek. Legyen ez a határérték ξ!

De f folytonos ξ-ben, tehát a folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján: ${\displaystyle f(\xi )=\lim(f(x_{n}))\leq 0}$ és ${\displaystyle f(\xi )=\lim(f(y_{n}))\geq 0\quad (n\in \mathbb {N} )}$. Ez csak úgy lehetséges, ha ${\displaystyle ~f(\xi )=0\,}$ ■

A nemsztenderd analízis eszközeivel

Legyen f a fenti tulajdonságú függvény és legyen a illetve b az értelmezési tartománya olyan pontja, hogy a<b és f(a)<0<f(b) (ez feltehető; ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Legyen ω végtelen nagy természetes szám. Osszuk fel az [a,b] intervallumot ω darab egyenlő részre, az osztópontokat jelöljük x_n-nel. Legyen

${\displaystyle H:=\{n\mid f(x_{n})\leq 0\}}$

H nem üres, mert f(a) negatív (a az első „osztópont”) és véges halmaz a nemsztenderd valós számok között (ezt úgy jelöljük, hogy H *véges), így van maximális eleme. Legyen ez az elem M és a hozzá tartozó osztópont x_M. Belátjuk, hogy ha ξ az x_M sztenderd része (vagyis az a normális valós szám, ami végtelenül közel van x_M-hez), akkor f(ξ) = 0.

Ha f(ξ) > 0 lenne, akkor f(x_M)-et (tekintve, hogy f(x_M) nem pozitív) egy véges, nemnulla sztenderd szám választaná el f(ξ)-től, ami f folytonossága miatt lehetetlen (hiszen ξ végtelen közel van x_M-hez).

Ha f(ξ) < 0 lenne, akkor szintén a folytonosság miatt minden, a ξ ponthoz végtelenül közeli pontban a függvény negatív, például az

${\displaystyle x_{M+1}=x_{M}+{\frac {1}{\omega }}}$

helyen is (világos, hogy x_M+1 létezik és kisebb mint b, mert ott f pozitív lenne), ami ellentmond M maximális voltának. ■

Ekvivalens állítás

A Bolzano-tételt a következőképpen is ki szokták mondani:

• Ha ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, és ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$, akkor van az ${\displaystyle (a,b)}$ nyílt intervallumon zérushelye.
• Ha ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor minden ${\displaystyle y\in [f(a),f(b)]}$-re létezik olyan ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$, amire ${\displaystyle y=f(\xi )}$.

Ez a két megfogalmazás ekvivalens.

Következmény

Ez a kiterjesztés a következőt jelenti: minden a fenti feltételeknek eleget tevő (intervallumon értelmezett és folytonos) függvényre igaz, hogy minden ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}_{f},~a<b}$-re, ha ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$, igaz, hogy ${\displaystyle \forall c\in [f(a),f(b)]~\exists \xi \in [a,b]~:~f(\xi )=c}$.

Vegyük észre, hogy ez a függvény Darboux-tulajdonságát jelenti, azaz minden intervallumon értelmezett folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. (Lásd: Bolzano–Darboux-tétel)

További információk

• A PlanetMath Bolzano's theorem szócikke Archiválva 2006. szeptember 25-i dátummal a Wayback Machine-ben