Béta-eloszlás

Az X valószínűségi változó α és β paraméterű béta-eloszlást követ – vagy rövidebben béta-eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},\quad x\in [0,1],\quad }$

és f(x) = 0 egyébként. A képletben Γ(x) a gamma-függvény, B(α, β) a béta-függvény valamint α és β pozitív.

Speciálisan, ha α = 1 és β = 1, akkor X a [0,1] intervallumon vett egyenletes eloszlást követ.

A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

A béta-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

${\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$

Szórása

${\displaystyle \mathbf {D} (X)={\frac {1}{\alpha +\beta }}{\sqrt {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta +1)}}}}$

Momentumai

${\displaystyle \mathbf {E} (X^{k})={\frac {\Gamma (\alpha +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +k)}}}$

Ferdesége

Lapultsága

Béta-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Az α és β paraméterek szerepének felcserélésével a sűrűségfüggvény az x = 1/2 egyenesre tükröződik.

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.