Általánosított sűrűségfüggvény

Az általánosított sűrűségfüggvény speciális tulajdonságú valós értékű függvény, ami főként a valószínűségszámításban és a mértékelméletben fordul elő, ahol mértékeket vagy előjeles mértékeket konstruálnak vele. Anélkül lehet vele mértékeket konstruálni, hogy mélyebben belenyúlnánk a mértékelméletbe. Általában a valószínűségi sűrűségfüggvényt nevezik egyszerűen sűrűségfüggvénynek.

Definíció

Adva legyen ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$, és az ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$-kváziintegrálható függvény. Ekkor az

${\displaystyle \mu _{f}(A):=\int _{A}f(x)\mathrm {d} \mu (x)}$ minden ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ halmazra

függvény mérték, és ennek ${\displaystyle f}$ a sűrűségfüggvénye.

Megfordítva, legyenek ${\displaystyle \mu }$ és ${\displaystyle \nu }$ mértékek ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$-ben. Ha

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f_{\nu }(x)\mathrm {d} \mu (x)}$

egy ${\displaystyle f_{\nu }}$ kváziintegrálható függvényre, és minden ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ halmazra, akkor ${\displaystyle f_{\nu }}$ a ${\displaystyle \nu }$ mérték ${\displaystyle \mu }$ mértékre vonatkozó sűrűségfüggvénye. Ezt a függvényt nevezik Radon-Nikodým-deriváltnak és Radon-Nikodým-sűrűségnek is, és úgy jelölik, mint ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}$.

Előjeles mértékek esetén a definíció hasonló, de a pozitív tulajdonság mellőzésével.

Példák

Valószínűségi sűrűségfüggvény

Az általánosított sűrűségfüggvényekre példa a valószínűségi sűrűségfüggvény. Itt a mérték a ${\displaystyle \lambda }$ Lebesgue-mérték és a Lebesgue-integrál mértéke, ahol is az alaptér mértéke egy. Egy ${\displaystyle f_{P}}$ függvény megadása egyszerű lehetőség a valószínűségi mérték definiálására:

${\displaystyle P(A)=\int _{A}f_{P}(x)\mathrm {d} \lambda (x)}$

Az így definiálható valószínűségi mértékek abszolút folytonos valószínűségi mértékek. Lehetővé teszik az elemi hozzáférést a valószínűségszámításhoz, gyakran a Lebesgue-integrál alkalmazásáról is lemondanak, megelégednek a Riemann-integrállal. Ekkor a jelölés ${\displaystyle \mathrm {d} \lambda (x)}$ helyett ${\displaystyle \mathrm {d} x}$.

Számsűrűség

A sűrűségfüggvény további példái a számsűrűségek, amiket valószínűségi függvényeknek is neveznek. A legegyszerűbb esetben minden természetes számhoz egy nemnegatív számot rendelnek:

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to [0,\infty )}$.

Az összes függvényérték összege egy, és valószínűségek definiálhatók hozzájuk:

${\displaystyle P(\{k\}):=f(k)}$

amik egy diszkrét valószínűségi eloszlás valószínűségei. Ha ${\displaystyle \mu }$ a számossági mérték ${\displaystyle \mathbb {N} }$-en, akkor

${\displaystyle P(A)=\sum _{k\in A}f(k)=\int _{A}f(k)\mathrm {d} \mu (k)}$.

Ezzel a számsűrűség sűrűségfüggvény a számosságra nézve.

Létezés

Definíció szerint minden pozitív kváziintegrálható függvény, mérték páros meghatároz egy újabb mértéket, ami sűrűségfüggvényt vezet be.

Két mérték esetén adódik a kérdés, hogy ha ${\displaystyle \mu ,\nu }$ mérték, és ${\displaystyle \nu }$ abszolút folytonos a ${\displaystyle \mu }$ mértékre, akkor létezik-e sűrűségfüggvénye a ${\displaystyle \nu }$ mértéknek a ${\displaystyle \mu }$ mértékre vonatkozóan, vagy fordítva. Ennek a kérdésnek az első felét a Radon-Nikodým-tétel igenlően válaszolja meg.

Források

• Jürgen Elstrodt. Maß- und Integrationstheorie, 6., javított, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2009). ISBN 978-3-540-89727-9 
• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dichtefunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.