Formé au Palokan Kiekko, Vehviläinen passe ses années juniors avec le JYP Jyväskylä. Il fait ses débuts professionnels avec le club-école de la formation, le JYP-Akatemia, en 2014[1]. En prévision du repêchage de 2015, il est classé 6e meilleur espoir chez les gardiens européens[2]. Il est cependant ignoré lors de l'événement. Pour le repêchage suivant, il est cette fois classé 3e espoir européen[3], mais est de nouveau ignoré. Pendant cette période, il prend un rôle plus régulier avec le JYP, puis le Sport Vaasa et le Kärpät Oulu. Il faut attendre l'édition de 2018 pour que le nom de Vehviläinen soit appelé lors d'un repêchage alors qu'il est repêché 173e par les Blue Jackets de Columbus[1]. Le , Vehviläinen signe un contrat d'entrée de deux ans avec les Blue Jackets[4].
Il représente la Finlande au niveau international. Il fait partie des 25 joueurs sélectionnés par son pays pour participer au championnat du monde de 2019[5]. Il s'agit de sa première sélection sénior[1].