Triangle orthique

Le triangle orthique d'un triangle de référence est le triangle ayant pour sommets les pieds des hauteurs du triangle de référence.

Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs, concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices du triangle orthique h_Ah_Bh_C[1]. Il en résulte que, dans un tel triangle, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique. Le triangle orthique est également le triangle podaire et le triangle cévien de l'orthocentre pour le triangle de référence.

Les quadruplets de points (C, B, h_C, h_B) ; (B, A, h_B, h_A) et (A, C, h_A, h_C) sont cocycliques. Les centres des cercles en question sont les milieux des côtés du triangle ABC (selon le théorème de Thalès pour le cercle).

On a les égalités d'angles inscrits[1] :

${\displaystyle {\widehat {h_{B}h_{A}A}}={\widehat {h_{B}BA}}={\widehat {ACh_{C}}}={\widehat {Ah_{A}h_{C}}}}$

Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons joignant le centre du cercle circonscrit aux sommets du triangle ABC.

On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC de centre O, et A', B' et C' les pieds des hauteurs issues de A,B, C respectivement.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B'C') est parallèle à la tangente au cercle circonscrit en A. Donc (OA) est perpendiculaire à (B'C'). On montre aussi que cette tangente est parallèle à la droite de Simson du point intersection de (AH) avec le cercle circonscrit[2].

De même (OB) est perpendiculaire à (A'C') et (OC) est perpendiculaire à (A'B').

On peut dire aussi :

Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique.

Le triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit est le triangle tangentiel, ses côtés sont donc parallèles à ceux du triangle orthique.

Le triangle A'B'C' est le triangle orthique de ABC, le triangle A₁B₁C₁ est son triangle tangentiel .

Le triangle orthique est l'unique trajectoire d'un balle sur un billard triangulaire qui se referme en trois rebonds[3],[4].

On peut aussi en déduire que les côtés du triangle orthique sont antiparallèles aux côtés du triangle deux à deux[5].

Problème de Fagnano

Le triangle orthique est la solution au problème d'optimisation visant à trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre.

Triangle médian du triangle orthique

Soit un triangle ABC non rectangle, soient A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C, on note A₁ et A₂ les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC), A₃ et A₄ les symétriques de A’ par rapport à A₁ et A₂.

La droite (A₃A₄) est parallèle à (A₁A₂), les points B’, C’, A₃ et A₄ sont alignés, la droite (A₁A₂) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique de ABC, (A₁A₂) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A₃A₄ est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à ${\displaystyle {\frac {8S^{2}}{abc}}}$ où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés de ABC.

Références

1. Patrice Debart, « Triangle orthique », sur debart.fr
2. Trajan Lalesco, La géométrie du triangle, Jacques Gabay, 1987 (ISBN 2-87647-007-1), p. 10
3. Elisabeth Busser et Gilles Cohen, 100 Jeux mathématiques du «Monde», Pole, coll. « Jeux - Tests et maths », 2007, énoncé p. 70, solution p.99.
4. Peyrol Caroline (Coordinnatrice) et Équipe d'élèves et d'enseignants des lycées Paul Eluard de Saint-Denis (93), Jacques Feyder d'Epinay sur Seine et du collège Jean Vilar de Villetaneuse, « Trajectoires périodiques et billard triangulaire », dans Actes du congrès “MATh.en.JEANS” en 1996, 1996 (lire en ligne), p. 129-130.
5. (en) Florentin Smarandache et Ion Patrascu, The Geometry of the Orthological triangles (lire en ligne)

Articles connexes

• Problème de Fagnano
• Axe orthique

Sources

• Démonstrations : Sortais Yvonne et René, La géométrie du triangle, Hermann, 1997.
• (en) Eric W. Weisstein, « Orthic Triangle », sur MathWorld

Bibliographie

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)